Encontre a série de Taylor das funções abaixo centradas em x_{0} \in \mathbb{R} dado e determine o raio de convergência.
f(x)=\frac{1}{x}, x_{0}=-3

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=1/x centrada em x_{0}=-3 e o raio de convergência. O conteúdo aqui é usar a série geométrica para desenvolver em potências de (x - x_{0}).

Passo 2

Definimos a mudança de variável
h = x - (-3) = x+3.
Então
\frac{1}{x} = \frac{1}{-3 + h} = -\frac{1}{3}\,\frac{1}{1 - \frac{h}{3}}.

Passo 3

Sabendo que para \lvert u\rvert<1 \frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n,
substituímos u = \tfrac{h}{3} e obtemos
\frac{1}{1 - \frac{h}{3}} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{h}{3}\right)^n.
Portanto
\frac{1}{x} = -\frac{1}{3}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{h}{3}\right)^n = -\sum_{n=0}^\infty \frac{h^n}{3^{\,n+1}}.

Passo 4

Voltando a h = x+3, a série de Taylor fica
\frac{1}{x} = -\sum_{n=0}^\infty \frac{(x+3)^{n}}{3^{\,n+1}}.
Para convergir, precisamos de \bigl|\tfrac{h}{3}\bigr|<1, ou seja \lvert x+3\rvert<3.

Resposta

\frac{1}{x} = -\sum_{n=0}^\infty \frac{(x+3)^{n}}{3^{\,n+1}}, \quad R = 3.

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