Encontre a solução de cada PVI: 
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a solução de uma equação diferencial do tipo PVI (Problema de Valor Inicial). A equação que temos é 
  com as condições iniciais 
  e 
 . Para resolver, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, como encontrar a solução geral da homogênea e uma solução particular, e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, 
 . Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. A gente busca soluções na forma 
 , onde 
  é uma constante a ser determinada.
Substituindo na equação homogênea:
Como 
  nunca é zero, temos que:
Isso nos mostra que as raízes são complexas, então a solução geral da homogênea é:
Onde 
  e 
  são constantes que vão ser determinadas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa 
 . Para isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Nossa função não homogênea é 
 , que é um polinômio de primeiro grau. Então, vamos supor uma solução particular na forma:
Onde 
  e 
  são constantes a serem encontradas.
Vamos derivar 
 :
Substituindo na equação original:
Comparando os coeficientes:
Para :
Para
Para a constante:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênica com a particular para obter a solução geral da equação:
Passo 5
Finalmente, aplicamos as condições iniciais para encontrar 
  e 
 .
Primeira condição: 
Segunda condição: 
Primeiro, derivamos :
Primeiro, derivamos
Substituindo 
  e 
 :
Resposta
A solução do PVI é: