Encontre a solução de cada PVI: 
 
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um problema de equações diferenciais onde precisamos encontrar a função 
  que satisfaz a equação 
 . Além disso, temos as condições iniciais 
  e 
 . Vamos precisar usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e incluir condições iniciais para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é 
 . Para isso, supomos que a solução tem a forma 
 . Substituindo na equação, temos:
Como 
  nunca é zero, a equação característica é 
 , que tem raízes imaginárias 
 .
Passo 3
Com raízes complexas 
 , a solução geral da equação homogênea é:
onde 
  e 
  são constantes que vamos determinar depois.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa 
 . Como o termo do lado direito é 
 , tentamos uma solução particular da forma 
 , onde 
  é uma constante a ser encontrada.
Passo 5
Vamos derivar 
 :
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por 
 :
Passo 6
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar 
  e 
 . Primeiro, para 
 :
Passo 9
Agora, derivamos 
  para encontrar 
 :
Aplicando 
 :
Resposta
A solução do problema é: