Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
i. y'' - 3y' - 4y = 4t^2 - 1, y(0) = 0, y'(0) = 1/2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
com as condições:
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada ( ) e uma solução particular da equação completa.

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, assumimos uma solução do tipo . Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equaç��o homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
O lado direito é um polinômio de segundo grau. Então, vamos assumir que também é um polinômio de segundo grau:

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 8

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Reagrupando os termos:

Passo 9

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para :
Substituindo :
Para o termo constante:
Substituindo e :

Passo 10

Então, a solução particular é:

Passo 11

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 12

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo :

Passo 13

Segunda condição:
Primeiro, vamos encontrar :
Agora, substituindo :

Passo 14

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos somar as duas equações:
Agora, substituindo na equação (1):

Resposta

A solução do problema é:

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