Em cada um dos seguintes itens, primeiro verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada, e, por último, escreva a respectiva solução geral.
h. x^2 y'' - 4 x y' + 6 y = 1/x^4, x != 0, y1(x) = x^2, y2(x) = x^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial não homogênea do tipo:
Além disso, foram dadas duas soluções da equação homogênea associada: e .
Vamos precisar saber como verificar se essas funções realmente resolvem a equação homogênea e depois encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Por fim, vamos combinar tudo para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se satisfaz a equação homogênea. A equação homogênea é:
Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos na equação:
Então, realmente satisfaz a equação homogênea.

Passo 3

Vamos agora verificar para .
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Portanto, também satisfaz a equação homogênea.

Passo 4

Agora que confirmamos que e resolvem a equação homogênea, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é , vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação não homogênea:
Queremos que isso seja igual a , então temos:
Isso implica que , ou seja, .

Passo 6

Com , a solução particular é:

Passo 7

Agora, a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da equação homogênea com a solução particular encontrada. A solução geral da equação homogênea é:
Portanto, a solução geral da equação não homogênea é:

Resposta

A solução geral da equação é:

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