Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
m. y'' + 4y = -12 sen(2t), y(0) = 1, y'(0) = 3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial do tipo de segunda ordem. A gente tem a equação com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar tanto a solução da equação homogênea quanto uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, montamos a equação característica: . Resolvendo para , temos . Essas raízes complexas indicam que a solução geral da parte homogênea será:
onde e são constantes que a gente vai determinar depois.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é e isso já está na solução homogênea, a gente precisa multiplicar por para evitar duplicação. Então, tentamos:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Para encontrar e , calculamos as derivadas de :
Substituindo e suas derivadas na equação original , simplificamos e igualamos os coeficientes para encontrar e . Fazendo isso, descobrimos que:
Então, a solução particular fica:

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Então, .
Segundo, derivamos para encontrar :
Aplicando :
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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