Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
h. d²y/dt² + 4y = 4 sec²(t);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem não homogênea:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem que não é homogênea por causa do termo no lado direito. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações homogêneas e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, supomos que a solução tem a forma . Substituindo na equação:
Como , temos:
As raízes são complexas: e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Vamos usar o método da variação das constantes ou tentar uma forma específica para . Observando o lado direito , sabemos que a derivada de é , então uma boa hipótese é tentar:
onde é uma constante a ser determinada.
Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na equação não homogênea:
Fatorando :
Para que essa igualdade seja válida para todo , precisamos ajustar . No entanto, percebemos que a função já está presente na solução homogênea, o que significa que precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular independente. Então, tentamos:
Calculando as derivadas novamente:
Substituindo na equação não homogênea:
Igualando os termos:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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