Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
j. y'' - 3y' - 4y = 2 sen(t), y(0) = 3/17, y'(0) = 12 / 17

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial com as condições iniciais e . Estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicaremos as condições iniciais para determinar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica, que é formada substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é uma função seno, tentamos uma solução na forma:
Derivando :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Isso resulta em:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: =>
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar e .
Primeiro, para :
Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando :
Agora, resolvemos o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então,

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados