- Encontre uma solução da equação de Laplace na faixa semi-infinita
que satisfaça as condições de contorno
e a condição adicional de que
é limitada quando
.
Passo 1
O enunciado pede uma função
que satisfaça a equação de Laplace
no domínio
,
, com as condições de contorno
além de exigir que
permaneça limitada quando
.
Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis e expandir em série de cossenos (Fourier–cosine).
Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis e expandir
Passo 2
Assumimos solução do tipo
Substituindo na equação de Laplace,
Isso leva aos ODEs
com as condições
,
(Neumann em
) e a exigência de que
seja limitada para
.
-
Caso
:
dá constante.
dá ; a limitação em força .
Logo há um modo constanteconstante. -
Caso
: escrevemos , .
As condiçõesselecionam os autofunções
Para
temos
e a limitação em
exige
, ficando
Passo 3
A combinação linear de todos os modos dá a solução geral
Para ajustar
, impomos
que é exatamente a expansão de Fourier em cossenos em
. Os coeficientes são