1. Encontre uma solução da equação de Laplace na faixa semi-infinita 0<x<a, y>0 que satisfaça as condições de contorno
\begin{aligned} u_{x}(0, y) & =0=u_{x}(a, y) \\\ u(x, 0) & =f(x) \end{aligned}
e a condição adicional de que u(x, y) é limitada quando y \longrightarrow+\infty.

Passo 1

O enunciado pede uma função u(x,y) que satisfaça a equação de Laplace
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0
no domínio 0<x<a, y>0, com as condições de contorno
u_x(0,y)=0,\quad u_x(a,y)=0,\quad u(x,0)=f(x),
além de exigir que u(x,y) permaneça limitada quando y\to+\infty.
Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis e expandir f(x) em série de cossenos (Fourier–cosine).

Passo 2

Assumimos solução do tipo
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo na equação de Laplace,
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{X''}{X} = -\frac{Y''}{Y} = -\lambda.
Isso leva aos ODEs
X'' + \lambda X = 0, \quad Y'' - \lambda Y = 0,
com as condições X'(0)=0, X'(a)=0 (Neumann em x) e a exigência de que Y(y) seja limitada para y\to\infty.
  1. Caso \lambda=0:
    X_0''=0 X_0= constante.
    Y_0''=0 Y_0=C+Dy; a limitação em y\to\infty força D=0.
    Logo há um modo constante X_0Y_0= constante.
  2. Caso \lambda>0: escrevemos \lambda_n=(n\pi/a)^2, n=1,2,\dots.
    As condições X'(0)=X'(a)=0 selecionam os autofunções
X_n(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr).
Para Y_n temos
Y_n(y)=A\,e^{n\pi y/a}+B\,e^{-n\pi y/a},
e a limitação em y\to\infty exige A=0, ficando
Y_n(y)=B\,e^{-\,n\pi y/a}.

Passo 3

A combinação linear de todos os modos dá a solução geral
u(x,y) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr) e^{-\,n\pi y/a}.
Para ajustar u(x,0)=f(x), impomos
f(x) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr),
que é exatamente a expansão de Fourier em cossenos em [0,a]. Os coeficientes são
A_0 = \frac{1}{a}\int_{0}^{a}f(s)\,ds, \qquad A_n = \frac{2}{a}\int_{0}^{a}f(s)\, \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi s}{a}\bigr)\,ds \quad(n\ge1).

Resposta

\boxed{ u(x,y) = \frac{1}{a}\int_{0}^{a}f(s)\,ds + \sum_{n=1}^{\infty} \biggl[\frac{2}{a}\int_{0}^{a}f(s)\, \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi s}{a}\bigr)\,ds\biggr] \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr) e^{-\,n\pi y/a} }.

Exercícios relacionados