Resolva equações lineares com coeficientes constantes:
y^{\prime}+y=t e^{-1}+1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente constante:
y' + y = t e^{-1} + 1.
O conteúdo é equação linear de primeira ordem. Vamos usar o método da solução homogênea e coeficientes indeterminados para achar a solução particular.

Passo 2

Resolvendo a homogênea associada
y' + y = 0
a equação característica é \lambda + 1 = 0, ou seja, \lambda = -1. Logo a solução geral da parte homogênea é
y_h(t) = C e^{-t},
onde C é constante arbitrária.

Passo 3

Para a solução particular y_p, como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 em t multiplicado por constante, propomos
y_p(t) = a t + b.
Então
y_p'(t) = a
e, substituindo em y' + y, obtemos
a + (a t + b) = a t + (a + b) = t e^{-1} + 1.
Igualando coeficientes de t e o termo constante:
a = e^{-1}, \quad a + b = 1 \;\Longrightarrow\; b = 1 - e^{-1}.
Portanto
y_p(t) = e^{-1} t + 1 - e^{-1}.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C e^{-t} + e^{-1} t + 1 - e^{-1}.

Resposta

y(t) = C e^{-t} + \frac{t}{e} + 1 - \frac{1}{e}.

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