Encontre a solução geral de cada uma das EDO
Além disso, encontre a solução geral de 
 , sabendo que 
  é uma solução particular.
Além disso, encontre a solução geral de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que o professor te passou: 
 . O que isso quer dizer é que temos uma relação entre a função 
  e suas derivadas primeiras e segundas. O objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO, ou seja, uma expressão que engloba todas as soluções possíveis da equação. Além disso, já sabemos que 
  é uma solução específica. Para resolver isso, vamos precisar usar um método chamado redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma solução particular. Sabemos que 
  satisfaz a equação 
 . Para encontrar a solução geral, precisamos de uma segunda solução 
  que não seja múltiplo de 
 . A ideia aqui é assumir que 
  é igual a 
 , ou seja, 
 , onde 
  é uma função que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de 
 . Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 4
Substituímos 
 , 
  e 
  na equação original:
Substituindo:
Vamos simplificar isso:
Os termos 
  e 
  se cancelam:
Passo 5
Podemos simplificar ainda mais dividindo todos os termos por 
  (assumindo 
 ):
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para 
 . Vamos chamar 
 , então a equação fica:
Passo 6
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante 
  é dado por:
Multiplicando toda a equação por 
 :
Isso pode ser reescrito como:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Onde 
  é uma constante de integração. Portanto:
Lembrando que 
 , temos:
Passo 8
Agora, precisamos integrar 
  para encontrar 
 :
Essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la em termos da função exponencial integral. No entanto, para fins de solução geral, vamos deixar a integral e incorporar as constantes adequadamente.
Passo 9
Voltando à nossa segunda solução:
Como essa expressão é bastante complexa, geralmente aceitamos soluções que envolvem integrais não elementares ou usamos séries para expressar 
 . Para simplificar, reconhecemos que a solução geral será uma combinação linear das soluções conhecidas.
Resposta
Então, a solução geral da equação diferencial 
  é:
Onde 
  e 
  são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.