Encontre a solução geral de cada equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
(x+y) y^prime=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(x+y),y^prime=1
ou seja
dydx=1x+y
Para resolver, vamos usar a substituição
u = x+y,
de modo a reduzir a equação a uma forma integrável.

Passo 2

Como u = x+y, temos
dydx=1u
e
dudx = ddx(x+y) =1+dydx =1+1u =u+1u
Invertendo, obtemos
dxdu=uu+1

Passo 3

Integramos em relação a u:
x = integral uu+1,du = integral l(1 - 1u+1r),du = u - lnlvert u+1rvert + C

Passo 4

Voltando à variável y via u=x+y, a expressão fica
x = (x+y) - lnlvert x+y+1rvert + C
Reorganizando,
lnlvert x+y+1rvert - y = C
e, exponenciando,
lvert x+y+1rvert,e^-y=e^C=C1
Absorvendo o sinal em C1, chegamos à forma mais simples:
x+y+1 = C,e^y,
onde C é a constante geral.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
boxedx + y + 1 = C,e^y,
ou explicitamente
x = C,e^y - y - 1,
com C constante arbitrária.

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