Encontre a solução geral das EDLN-H dadas abaixo, usando o Método Variação de Parâmetros.
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=2 e^{t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea
y'' - 5y' + 6y = 2e^{t},
usando o método de variação de parâmetros. Para isso, primeiro encontraremos a solução geral da homogênea associada e depois construiremos uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Consideramos a equação homogênea
y'' - 5y' + 6y = 0.
A equação característica é
r^2 - 5r + 6 = 0,
cuja solução é dada por
r = 2 \quad\text{ou}\quad r = 3.
Logo, duas soluções lineares independentes são
y_1(t) = e^{2t}, \quad y_2(t) = e^{3t},
e a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_{1}e^{2t} + C_{2}e^{3t}.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, propomos
y_p(t) = u_{1}(t)e^{2t} + u_{2}(t)e^{3t},
sujeito às condições
\begin{cases} u_{1}'(t)e^{2t} + u_{2}'(t)e^{3t} = 0,\\\ u_{1}'(t)\,2e^{2t} + u_{2}'(t)\,3e^{3t} = 2e^{t}. \end{cases}
O Wronskiano de \{y_1,y_2\} é
W = \begin{vmatrix} e^{2t} & e^{3t} \\\\ 2e^{2t} & 3e^{3t} \end{vmatrix} = (e^{2t})(3e^{3t}) - (e^{3t})(2e^{2t}) = e^{5t}.

Passo 4

Das fórmulas de variação de parâmetros temos
u_{1}'(t) = -\frac{2e^{t}\,y_2(t)}{W} = -\frac{2e^{t}\,e^{3t}}{e^{5t}} = -2e^{-t},
u_{2}'(t) = \frac{2e^{t}\,y_1(t)}{W} = \frac{2e^{t}\,e^{2t}}{e^{5t}} = 2e^{-2t}.
Integrando, obtém-se
u_{1}(t) = \int -2e^{-t}\,dt = 2e^{-t}, \quad u_{2}(t) = \int 2e^{-2t}\,dt = -e^{-2t}.

Passo 5

Substituindo em y_p resulta
y_p(t) = u_{1}(t)e^{2t} + u_{2}(t)e^{3t} = \bigl(2e^{-t}\bigr)e^{2t} + \bigl(-e^{-2t}\bigr)e^{3t} = 2e^{t} - e^{t} = e^{t}.
Portanto, a solução geral da não homogênea é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_{1}e^{2t} + C_{2}e^{3t} + e^{t}.

Resposta

y(t) = C_{1}e^{2t} + C_{2}e^{3t} + e^{t}.

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