Encontre a solução geral das EDLN-H dadas abaixo, usando o Método Variação de Parâmetros.
\begin{aligned}& y^{\prime \prime}+9 y=80 \cos (5 t) \\& y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação
y'' + 9y = 80\cos(5t)
com as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo necessário é: solução da parte homogênea, construção da particular via variação de parâmetros e aplicação das condições iniciais.

Passo 2

Começamos pela solução da parte homogênea associada
y'' + 9y = 0.
A equação característica é \lambda^2 + 9=0, com raízes \lambda=\pm 3i. Logo duas soluções independentes são
y_1(t)=\cos(3t), \qquad y_2(t)=\sin(3t).
A solução geral homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t).
O Wronskiano dessas soluções vale
W(y_1,y_2)(t)= \begin{vmatrix} \cos(3t) & \sin(3t)\\\\ -3\sin(3t) & 3\cos(3t) \end{vmatrix} =3\bigl(\cos^2(3t)+\sin^2(3t)\bigr)=3.

Passo 3

Pelo método de variação de parâmetros, buscamos
y_p(t)=u_1(t)\,y_1(t)+u_2(t)\,y_2(t),
com
\begin{cases} u_1'(t)\,y_1(t)+u_2'(t)\,y_2(t)=0,\\\ u_1'(t)\,y_1'(t)+u_2'(t)\,y_2'(t)=80\cos(5t). \end{cases}
Isto leva às fórmulas
u_1'(t)=-\frac{80\cos(5t)\,y_2(t)}{W}= -\frac{80}{3}\cos(5t)\sin(3t), \quad u_2'(t)=\frac{80\cos(5t)\,y_1(t)}{W}= \frac{80}{3}\cos(5t)\cos(3t).

Passo 4

Integramos para obter u_1 e u_2.
Para u_1:
u_1(t)=-\frac{80}{3}\int \cos(5t)\sin(3t)\,dt.
Use a identidade \sin(3t)\cos(5t)=\tfrac12[\sin(8t)-\sin(2t)].
Então
\int \cos(5t)\sin(3t)\,dt =\tfrac12\int[\sin(8t)-\sin(2t)]\,dt =-\tfrac1{16}\cos(8t)+\tfrac1{4}\cos(2t).
Logo
u_1(t) =-\frac{80}{3}\Bigl(-\tfrac1{16}\cos(8t)+\tfrac1{4}\cos(2t)\Bigr) =\frac{5}{3}\cos(8t)-\frac{20}{3}\cos(2t).
Para u_2:
u_2(t)=\frac{80}{3}\int \cos(5t)\cos(3t)\,dt.
Use \cos(5t)\cos(3t)=\tfrac12[\cos(8t)+\cos(2t)].
Então
\int \cos(5t)\cos(3t)\,dt =\tfrac12\int[\cos(8t)+\cos(2t)]\,dt =\tfrac1{16}\sin(8t)+\tfrac1{4}\sin(2t).
Logo
u_2(t) =\frac{80}{3}\Bigl(\tfrac1{16}\sin(8t)+\tfrac1{4}\sin(2t)\Bigr) =\frac{5}{3}\sin(8t)+\frac{20}{3}\sin(2t).

Passo 5

O particular é
y_p(t) =u_1(t)\cos(3t)+u_2(t)\sin(3t).
Substituindo e usando as fórmulas de soma de ângulos, chega-se a
y_p(t)=-5\cos(5t).

Passo 6

A solução geral da EDLN é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t)-5\cos(5t).

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais:
  1. y(0)=0
C_1\cdot1 + C_2\cdot0 -5\cdot1=0 \;\Longrightarrow\;C_1=5.
  1. Derivando,
y'(t)=-3C_1\sin(3t)+3C_2\cos(3t)+25\sin(5t),
logo y'(0)=0
-3C_1\cdot0 +3C_2\cdot1 +0=0 \;\Longrightarrow\;C_2=0.

Resposta

y(t)=5\cos(3t)-5\cos(5t).

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