- a) Encontre a solução geral da EDO
para
, para
e
.
b) Para quais valores de
todas as soluções tendem a zero quando
?
b) Para quais valores de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
nos três casos
,
e
, e em (b) quer saber para quais
todas as soluções tendem a zero quando
. O conteúdo é equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar a equação característica para resolver.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada:
e calculamos o discriminante
Daí surgem três situações conforme o sinal de
.
Passo 3
Caso
: aqui
e
. Escrevendo
com
, as raízes são
Então a solução geral é
Passo 4
Caso
: aqui
, há raiz dupla
. A forma geral da solução, considerando multiplicidade 2, é
Passo 5
Caso
: aqui
, então
e as raízes são reais distintas
Chamando
, temos
e a solução geral é
Passo 6
Para todas as soluções tenderem a zero é necessário que as partes reais de
e
sejam negativas. Como
a estabilidade (raízes com parte real negativa) exige
. De fato:
- Se
, tanto nos três casos , , as raízes têm parte real ou , logo . - Se
, aparece raiz com parte real , e nem toda solução tende a zero.
Resposta
a)
Para :
Para
Para
:
Para
: com
,
b) Todas as soluções tendem a zero quando
se, e somente se,
.