1. a) Encontre a solução geral da EDO
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\alpha y=0
para \alpha>1, para \alpha=1 e \alpha<1.
b) Para quais valores de \alpha todas as soluções tendem a zero quando t \rightarrow+\infty ?

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' + 2y' + \alpha\,y = 0
nos três casos \alpha>1, \alpha=1 e \alpha<1, e em (b) quer saber para quais \alpha todas as soluções tendem a zero quando t\to+\infty. O conteúdo é equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 2r + \alpha = 0
e calculamos o discriminante
\Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot\alpha = 4(1 - \alpha).
Daí surgem três situações conforme o sinal de \Delta.

Passo 3

Caso \alpha>1: aqui 1-\alpha<0 e \Delta<0. Escrevendo \alpha-1 = \beta^2 com \beta = \sqrt{\alpha-1}>0, as raízes são
r = \frac{-2 \pm i\,2\beta}{2} = -1 \pm i\beta.
Então a solução geral é
y(t) = e^{-t}\bigl(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t)\bigr).

Passo 4

Caso \alpha=1: aqui \Delta = 0, há raiz dupla r = -1. A forma geral da solução, considerando multiplicidade 2, é
y(t) = (C_1 + C_2\,t)\,e^{-t}.

Passo 5

Caso \alpha<1: aqui 1-\alpha>0, então \Delta>0 e as raízes são reais distintas
r_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4(1-\alpha)}}{2} = -1 \pm \sqrt{1-\alpha}.
Chamando \gamma = \sqrt{1-\alpha}, temos
r_1 = -1 + \gamma, \quad r_2 = -1 - \gamma,
e a solução geral é
y(t) = C_1\,e^{r_1 t} + C_2\,e^{r_2 t}.

Passo 6

Para todas as soluções tenderem a zero é necessário que as partes reais de r_1 e r_2 sejam negativas. Como
r_1 + r_2 = -2 < 0, \quad r_1 r_2 = \alpha,
a estabilidade (raízes com parte real negativa) exige \alpha>0. De fato:
  • Se \alpha>0, tanto nos três casos \alpha>1, \alpha=1, 0<\alpha<1 as raízes têm parte real -1 ou -1\pm\sqrt{1-\alpha}<0, logo y(t)\to0.
  • Se \alpha\le0, aparece raiz com parte real \ge0, e nem toda solução tende a zero.

Resposta

a)
Para \alpha>1:
y(t) = e^{-t}\bigl(C_1\cos(\sqrt{\alpha-1}\,t) + C_2\sin(\sqrt{\alpha-1}\,t)\bigr).
Para \alpha=1:
y(t) = (C_1 + C_2\,t)\,e^{-t}.
Para \alpha<1: com \gamma = \sqrt{1-\alpha},
y(t) = C_1\,e^{(-1+\gamma)\,t} + C_2\,e^{(-1-\gamma)\,t}.
b) Todas as soluções tendem a zero quando t\to+\infty se, e somente se, \alpha>0.

Exercícios relacionados