1. Considere o problema y^{\prime \prime}-y^{\prime}+\frac{1}{4} y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=b. Determine os valores de b para os quais a solução y(t) \rightarrow+\infty quando t \rightarrow+\infty.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' - y' + \tfrac14\,y = 0,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=b,
que é uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a equação característica e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 - r + \tfrac14 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot\tfrac14 = 1 - 1 = 0,
logo há raiz dupla r = \tfrac12.

Passo 3

Para raiz dupla r=\tfrac12, a solução geral é
y(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)\,e^{\tfrac t2}.
Impondo y(0)=0 obtemos
y(0)=C_1\,e^0 = C_1 = 0,
então
y(t) = C_2\,t\,e^{\tfrac t2}.

Passo 4

Vamos calcular y'(t) e usar y'(0)=b. Derivando,
y'(t) = C_2\Bigl(t\cdot\tfrac12 + 1\Bigr)e^{\tfrac t2} = C_2\bigl(1 + \tfrac t2\bigr)e^{\tfrac t2}.
Em t=0 isso dá
y'(0) = C_2\cdot1\cdot e^0 = C_2 = b.
Logo C_2=b e a solução é
y(t) = b\,t\,e^{\tfrac t2}.

Passo 5

Para analisar o comportamento quando t\to+\infty, note que t\,e^{t/2}\to+\infty.
  • Se b>0, então y(t)\to+\infty.
  • Se b=0, então y(t)\equiv0.
  • Se b<0, então y(t)\to-\infty.

Resposta

Os valores de b que fazem y(t)\to+\infty quando t\to+\infty são
b > 0.

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