- Considere o problema
,
. Determine os valores de
para os quais a solução
quando
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
que é uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a equação característica e depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Formamos a equação característica associada:
O discriminante é
logo há raiz dupla
.
Passo 3
Para raiz dupla
, a solução geral é
Impondo
obtemos
então
Passo 4
Vamos calcular
e usar
. Derivando,
Em
isso dá
Logo
e a solução é
Passo 5
Para analisar o comportamento quando
, note que
.
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Resposta
Os valores de
que fazem
quando
são