Encontre a solução geral das EDOs de primeira ordem: x d v/dx - (1 - v^2)/(3 + v) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem que a gente tem aqui:
A matéria que vamos precisar é EDO de primeira ordem, e para resolver isso, a gente vai usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixar isolado. Vamos somar dos dois lados:

Passo 3

Agora, dividimos ambos os lados por x para deixar sozinho:

Passo 4

Observamos que essa equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis v e x em lados opostos da equação. Vamos fazer isso multiplicando ambos os lados por :
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis corretamente. Vamos trazer todas as expressões com v para o lado esquerdo e as com x para o lado direito:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Podemos decompor a fração:
Mas, uma forma mais simples é reconhecer que:
Agora, fracionamos:
Resolvendo para A e B, encontramos e .
Portanto, a integral fica:
A integral do lado direito é:

Passo 7

Igualando as integrais, temos:
Podemos simplificar exponenciando ambos os lados:
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde K é uma constante real arbitrária.

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