Encontre a solução geral das EDOs de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. A equação que temos é:
Vamos precisar entender um pouco sobre EDOs de primeira ordem e como resolver equações que podem ser simplificadas para uma forma conhecida, como a forma linear ou separável.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear, que é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui,
e
. No entanto, percebe-se que
não depende apenas de
, mas também de
, o que faz com que a equação não seja linear. Então, vamos verificar se ela é separável.
Passo 3
Uma equação é separável se podemos escrever
. Vamos reorganizar a nossa equação:
Fatorando
e
:
Isso ainda não está separado claramente, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 4
Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Observe que a equação pode ser reorganizada como:
Agora, podemos dividir ambos os lados por
:
Essa forma sugere que podemos integrar ambos os lados separadamente.
Passo 5
Vamos integrar os dois lados:
O lado direito é fácil de integrar:
Agora, precisamos lidar com o lado esquerdo. Isso pode exigir uma decomposição em frações parciais, mas para simplificar, vamos considerar que essa integral pode ser complexa e buscar uma solução mais direta.
Passo 6
Observando novamente a equação original:
Podemos notar que se dividirmos ambos os lados por
, temos:
Agora, fazemos a substituição
. Então,
Substituindo na equação, temos:
Passo 7
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Vamos encontrar o fator integrante
:
Multiplicando a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Portanto,
Lembrando que
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.