Encontre a solução geral das EDOs de primeira ordem: d y/d x + 2 y/x = y^3/x^3

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. A equação que temos é:
Vamos precisar entender um pouco sobre EDOs de primeira ordem e como resolver equações que podem ser simplificadas para uma forma conhecida, como a forma linear ou separável.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear, que é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, e . No entanto, percebe-se que não depende apenas de , mas também de , o que faz com que a equação não seja linear. Então, vamos verificar se ela é separável.

Passo 3

Uma equação é separável se podemos escrever . Vamos reorganizar a nossa equação:
Fatorando e :
Isso ainda não está separado claramente, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Observe que a equação pode ser reorganizada como:
Agora, podemos dividir ambos os lados por :
Essa forma sugere que podemos integrar ambos os lados separadamente.

Passo 5

Vamos integrar os dois lados:
O lado direito é fácil de integrar:
Agora, precisamos lidar com o lado esquerdo. Isso pode exigir uma decomposição em frações parciais, mas para simplificar, vamos considerar que essa integral pode ser complexa e buscar uma solução mais direta.

Passo 6

Observando novamente a equação original:
Podemos notar que se dividirmos ambos os lados por , temos:
Agora, fazemos a substituição . Então,
Substituindo na equação, temos:

Passo 7

Agora, temos uma equação linear em termos de :
Vamos encontrar o fator integrante :
Multiplicando a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Portanto,
Lembrando que , então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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