Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
x \frac{d y}{d x}+4 y=x^{3}-x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x\,\frac{d y}{d x}+4\,y = x^{3} - x
que é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reescrevê-la em forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo por x (assumindo x\neq0) obtemos a forma padrão
\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x}\,y = x^{2}-1.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) satisfaz
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{4}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(4\ln|x|\bigr) = |x|^{4}.
Em um intervalo onde x>0 (ou x<0), podemos tomar \mu(x)=x^{4}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por x^{4} vem
x^{4}\frac{d y}{d x} + 4x^{3}y = x^{4}(x^{2}-1) \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{d x}\bigl(x^{4}y\bigr) = x^{6} - x^{4}.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x,
x^{4}y = \int\bigl(x^{6}-x^{4}\bigr)\,dx = \frac{x^{7}}{7} - \frac{x^{5}}{5} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral
y = \frac{x^{3}}{7} - \frac{x}{5} + C\,x^{-4}.

Passo 7

Como usamos divisão por x e x^{4}, a solução vale em qualquer intervalo que não contenha x=0, por exemplo (0,\infty) ou (-\infty,0).

Resposta

A solução geral é
y(x) = \frac{x^{3}}{7} - \frac{x}{5} + C\,x^{-4},
definida em qualquer intervalo em que x\neq0 (por exemplo (0,\infty) ou (-\infty,0)).

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