Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
x \frac{d y}{d x}+4 y=x^{3}-x
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
que é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reescrevê-la em forma padrão e usar fator integrante.
Passo 2
Dividindo por
(assumindo
) obtemos a forma padrão
Passo 3
O fator integrante
satisfaz
Em um intervalo onde
(ou
), podemos tomar
.
Passo 4
Multiplicando a equação padrão por
vem
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
,
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolando
, obtemos a solução geral
Passo 7
Como usamos divisão por
e
, a solução vale em qualquer intervalo que não contenha
, por exemplo
ou
.
Resposta
A solução geral é
definida em qualquer intervalo em que
(por exemplo
ou
).