Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
x^{2} y^{\prime}+x(x+2) y=e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y' + x(x+2)\,y = e^{x},
que é uma ODE linear de primeira ordem. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x^{2} (assumindo x\neq0), obtemos
y' + \frac{x+2}{x}\,y = \frac{e^{x}}{x^{2}}.
Aqui
P(x) = \frac{x+2}{x} = 1 + \frac{2}{x}, \qquad Q(x) = \frac{e^{x}}{x^{2}}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(x) por
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int 1\,dx + \int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(x + 2\ln|x|\bigr) = e^{x}\,x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x), obtendo
e^{x}x^{2}y' + e^{x}x^{2}\frac{x+2}{x}y = e^{x}x^{2}\frac{e^{x}}{x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(\mu y\bigr)' = e^{2x}.
Então
\mu(x)\,y = \int e^{2x}\,dx + C = \frac{1}{2}e^{2x} + C.

Passo 5

Voltando a y, temos
y = \frac{\tfrac12\,e^{2x} + C}{\mu(x)} = \frac{\tfrac12\,e^{2x}}{e^{x}x^{2}} + \frac{C}{e^{x}x^{2}} = \frac{e^{x}}{2\,x^{2}} + C\,\frac{e^{-x}}{x^{2}}.

Passo 6

Como dividimos por x^{2}, a solução só faz sentido para x\neq0. Logo o intervalo de definição geral é qualquer intervalo onde x>0 ou x<0, por exemplo (0,\infty) ou (-\infty,0).

Resposta

y(x) = \frac{e^{x}}{2\,x^{2}} + C\,\frac{e^{-x}}{x^{2}}, \quad x\in(0,\infty)\\ \text{ou}\\ x\in(-\infty,0).

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