Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
\cos ^{2} x \operatorname{sen} x d y+\left(y \cos ^{3} x-1\right) d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\cos^{2}x\,\sin x\,dy+\bigl(y\cos^{3}x-1\bigr)\,dx=0
e pede a solução geral e um intervalo em que ela esteja definida. Aqui vamos usar a técnica de fator integrante que depende só de x.

Passo 2

Escrevemos no formato
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
com
M(x,y)=y\cos^{3}x-1, \quad N(x,y)=\cos^{2}x\,\sin x.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y}=\cos^{3}x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{d}{dx}\bigl(\cos^{2}x\sin x\bigr) =\cos^{3}x-2\cos x\sin^{2}x.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante \mu(x). Para isso usamos a condição
\frac{\tfrac{\partial M}{\partial y}-\tfrac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{\cos^{3}x-\bigl(\cos^{3}x-2\cos x\sin^{2}x\bigr)} {\cos^{2}x\sin x} =\frac{2\cos x\sin^{2}x}{\cos^{2}x\sin x} =2\tan x,
que depende só de x. Logo
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int 2\tan x\,dx\Bigr) =\exp\bigl(-2\ln|\cos x|\bigr) =\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=\operatorname{sec}^{2}x, obtendo
\bigl(y\cos^{3}x-1\bigr)\operatorname{sec}^{2}x\,dx +\cos^{2}x\sin x\;\operatorname{sec}^{2}x\,dy=0
ou seja
\bigl(y\cos x-\operatorname{sec}^{2}x\bigr)\,dx+\sin x\,dy=0.
Agora verificamos exatidão:
\frac{\partial}{\partial y}(y\cos x-\operatorname{sec}^{2}x)=\cos x, \quad \frac{\partial}{\partial x}(\sin x)=\cos x,
logo é exata.

Passo 5

Existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\psi_x=y\cos x-\operatorname{sec}^{2}x, \qquad \psi_y=\sin x.
Integrando \psi_x em x:
\psi(x,y) =\int (y\cos x-\operatorname{sec}^{2}x)\,dx =y\sin x-\tan x+h(y).
Como \psi_y=\sin x+h'(y)=\sin x, segue h'(y)=0. Logo
\psi(x,y)=y\sin x-\tan x.

Passo 6

A solução implícita é
\psi(x,y)=C \quad\Longrightarrow\quad y\sin x-\tan x=C.
Podemos, se quisermos, escrever explicitamente
y=\frac{\tan x + C}{\sin x} =\operatorname{sec} x + C\,\csc x.

Passo 7

O fator integrante exigiu \cos x\neq0. Portanto a solução geral está definida em qualquer intervalo onde \cos x não zere (por exemplo -\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2}).

Resposta

A solução geral é
y\sin x-\tan x=C,
definida em qualquer intervalo sem zeros de \cos x, por exemplo \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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