Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
\cos ^{2} x \operatorname{sen} x d y+\left(y \cos ^{3} x-1\right) d x=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral e um intervalo em que ela esteja definida. Aqui vamos usar a técnica de fator integrante que depende só de
.
Passo 2
Escrevemos no formato
com
Calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante
. Para isso usamos a condição
que depende só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
, obtendo
ou seja
Agora verificamos exatidão:
logo é exata.
Passo 5
Existe uma função potencial
tal que
Integrando
em
:
Como
, segue
. Logo
Passo 6
A solução implícita é
Podemos, se quisermos, escrever explicitamente
Passo 7
O fator integrante exigiu
. Portanto a solução geral está definida em qualquer intervalo onde
não zere (por exemplo
).
Resposta
A solução geral é
definida em qualquer intervalo sem zeros de
, por exemplo
.