Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
x \frac{d y}{d x}+(3 x+1) y=e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem linear
x \frac{dy}{dx} + (3x+1)y = e^{-3x}.
O conteúdo necessário é a resolução de ODE linear usando fator integrante. Vamos precisar reescrever na forma padrão, calcular o fator integrante, multiplicar, integrar e isolar a solução geral.

Passo 2

Dividimos toda a equação por \,x (assumindo x\neq 0) para obter a forma padrão
\frac{dy}{dx} + \bigl(3 + \tfrac1x\bigr)y = \frac{e^{-3x}}{x}.

Passo 3

Identificamos o coeficiente de y como
P(x)=3+\frac1x,
e calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\biggl(\int P(x)\,dx\biggr) =\exp\!\bigl(3x+\ln|x|\bigr) =x\,e^{3x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x) e observamos que o lado esquerdo se torna derivada exata:
x e^{3x}\frac{dy}{dx} + x e^{3x}\bigl(3+\tfrac1x\bigr)y =\frac{d}{dx}\bigl(x e^{3x}y\bigr).
O lado direito é
\frac{e^{-3x}}{x}\cdot x e^{3x}=1.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(x e^{3x}y\bigr)\,dx = \int 1\,dx \quad\Longrightarrow\quad x e^{3x}y = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos
y(x) =\frac{x+C}{x e^{3x}} =\frac{x}{x e^{3x}} + \frac{C}{x e^{3x}} =e^{-3x} + C\,\frac{e^{-3x}}{x}.

Passo 7

Como dividimos por x, a solução geral só faz sentido em intervalos em que x\neq0, ou seja, em qualquer intervalo puramente positivo ( x>0) ou puramente negativo ( x<0).

Resposta

A solução geral é
y(x)=e^{-3x} + C\,\frac{e^{-3x}}{x},
definida em intervalos que não contenham x=0, por exemplo (0,\infty) ou (-\infty,0).

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