Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas que são relevantes: a equação envolve a função
, sua primeira derivada
e sua segunda derivada
; os coeficientes das derivadas e de
são constantes (são
e
conforme aparece na equação). A incógnita é a função
e queremos a família geral de soluções (com constantes arbitrárias).
Passo 2
Idéia do método (explicação didática e por que funciona): tentamos uma solução do tipo exponencial
porque derivar uma exponencial apenas multiplica por
, o que simplifica muito a equação. Vamos ver isso na prática: suponha
. Então
Substituindo na equação dada, obtemos uma expressão que tem um fator comum
(que nunca é zero), então podemos dividi-lo. Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
chamada equação característica — é um truque padrão que evita lidar diretamente com derivadas complicadas.
Passo 3
Formação da equação característica e resolução (passo a passo das contas): substituindo
em
temos
Fatorando
(não zero),
Agora resolvemos a quadrática
. Use a fórmula quadrática:
Como
, obtemos
Passo 4
Interpretação dos resultados e construção da solução geral: encontramos duas raízes reais distintas da equação característica:
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, as funções
e
são soluções independentes da equação diferencial. A solução geral é, portanto, uma combinação linear dessas duas soluções:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinariam valores iniciais se eles fossem fornecidos).
Passo 5
Comentário sobre independência linear (por que não precisamos de mais termos): para reforçar, a independência de
e
quando
pode ser verificada pelo Wronskiano. Aqui o Wronskiano vale, até um fator multiplicativo,
que não é zero porque
. Portanto as duas exponenciais formam uma base para as soluções da equação homogênea de segunda ordem.
Passo 6
Motivação rápida para lembrar na prova (dicas e variantes): se as raízes fossem iguais usaríamos
. Se fossem complexas conjugadas
escreveríamos a solução com senos e cossenos multiplicados por
. Nesse exercício as raízes são reais e distintas, então a forma com duas exponenciais é a correta e a mais simples.