Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' - 2y = 0.
Informações dadas que são relevantes: a equação envolve a função y(x), sua primeira derivada y'(x) e sua segunda derivada y''(x); os coeficientes das derivadas e de y são constantes (são -2 e -2 conforme aparece na equação). A incógnita é a função y(x) e queremos a família geral de soluções (com constantes arbitrárias).

Passo 2

Idéia do método (explicação didática e por que funciona): tentamos uma solução do tipo exponencial \;y(x)=e^{rx}\; porque derivar uma exponencial apenas multiplica por r, o que simplifica muito a equação. Vamos ver isso na prática: suponha \;y(x)=e^{rx}. Então
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^2 e^{rx}.
Substituindo na equação dada, obtemos uma expressão que tem um fator comum e^{rx} (que nunca é zero), então podemos dividi-lo. Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r chamada equação característica — é um truque padrão que evita lidar diretamente com derivadas complicadas.

Passo 3

Formação da equação característica e resolução (passo a passo das contas): substituindo \;y=e^{rx}\; em \;y''-2y'-2y=0\; temos
r^2 e^{rx} - 2 r e^{rx} - 2 e^{rx} = 0.
Fatorando e^{rx} (não zero),
e^{rx}\bigl(r^2 - 2r - 2\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 - 2r - 2 = 0.
Agora resolvemos a quadrática \;r^2 - 2r - 2 = 0\;. Use a fórmula quadrática:
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}.
Como \sqrt{12}=2\sqrt{3}, obtemos
r = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}.

Passo 4

Interpretação dos resultados e construção da solução geral: encontramos duas raízes reais distintas da equação característica:
r_1 = 1 + \sqrt{3},\qquad r_2 = 1 - \sqrt{3}.
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, as funções e^{r_1 x} e e^{r_2 x} são soluções independentes da equação diferencial. A solução geral é, portanto, uma combinação linear dessas duas soluções:
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinariam valores iniciais se eles fossem fornecidos).

Passo 5

Comentário sobre independência linear (por que não precisamos de mais termos): para reforçar, a independência de e^{r_1 x} e e^{r_2 x} quando r_1\neq r_2 pode ser verificada pelo Wronskiano. Aqui o Wronskiano vale, até um fator multiplicativo,
W = (r_2 - r_1)e^{(r_1+r_2)x},
que não é zero porque r_2-r_1 = -2\sqrt{3}\neq 0. Portanto as duas exponenciais formam uma base para as soluções da equação homogênea de segunda ordem.

Passo 6

Motivação rápida para lembrar na prova (dicas e variantes): se as raízes fossem iguais usaríamos C_1 e^{rx}+C_2 x e^{rx}. Se fossem complexas conjugadas a\pm bi escreveríamos a solução com senos e cossenos multiplicados por e^{ax}. Nesse exercício as raízes são reais e distintas, então a forma com duas exponenciais é a correta e a mais simples.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{(1+\sqrt{3})x}+C_{2}e^{(1-\sqrt{3})x}

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