Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta.
12 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0, \quad y(0)=-2, \quad y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado pede três coisas: encontrar a solução da equação diferencial com valores iniciais, esboçar o gráfico dessa solução e descrever o comportamento quando t aumenta.
As informações dadas são:
12\,y''+3\,y'=0,
y(0)=-2,
y'(0)=3.

Passo 2

Vamos decidir como resolver. Aqui temos uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. O método padrão e mais direto é usar a equação característica: assumimos soluções da forma y=e^{rt}, substituímos na EDO e obtemos uma equação polinomial (a equação característica) para r. Esse método é prático e rápido para este tipo de EDO.

Passo 3

Formamos a equação característica substituindo y=e^{rt} em 12\,y''+3\,y'=0. Como y'=r e^{rt} e y''=r^{2} e^{rt}, temos:
12 r^{2} e^{rt} + 3 r e^{rt} = 0.
Como e^{rt}\neq 0, dividimos por e^{rt} e obtemos a equação característica:
12 r^{2} + 3 r = 0.
Fatorando:
r(12 r + 3)=0.
Logo as raízes são
r_{1}=0,\qquad r_{2}=-\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Como as raízes são reais distintas (na verdade uma é zero), a solução geral da EDO é combinação linear das exponenciais correspondentes. A forma geral é
y(t)=C_{1} e^{r_{1} t} + C_{2} e^{r_{2} t}.
Substituindo os valores de r_{1} e r_{2} temos
y(t)=C_{1} e^{0\cdot t} + C_{2} e^{-t/4} = C_{1} + C_{2} e^{-t/4},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Calculamos a derivada y'(t) para aplicar y'(0)=3. Derivando a expressão geral:
y'(t)=C_{2}\left(-\tfrac{1}{4}\right)e^{-t/4} = -\tfrac{1}{4}C_{2} e^{-t/4}.
Agora aplicamos as condições iniciais.
Primeiro y'(0)=3:
y'(0)=-\tfrac{1}{4}C_{2} e^{0}=-\tfrac{1}{4}C_{2}=3.
Resolvendo para C_{2}:
C_{2}=-12.
Em seguida y(0)=-2:
y(0)=C_{1}+C_{2}=C_{1}+(-12)=-2.
Então
C_{1}=-2+12=10.

Passo 6

Substituindo C_{1}=10 e C_{2}=-12 na solução geral obtemos a solução particular:
y(t)=10-12 e^{-t/4}.
Também podemos escrever a derivada explícita:
y'(t)=3 e^{-t/4}.

Passo 7

Análise do comportamento quando t aumenta e esboço qualitativo:
  • O termo e^{-t/4} é uma exponencial decrescente positiva que tende a 0 quando t\to\infty. Portanto o termo -12 e^{-t/4} tende a 0 e y(t) tende a 10. Assim y(t) tem uma assíntota horizontal em y=10.
  • Como y'(t)=3 e^{-t/4}>0 para todo t, a função é estritamente crescente em todo \mathbb{R}. A derivada é decrescente em magnitude (vai para 0), então a curva sobe cada vez mais lentamente e se aproxima horizontalmente de y=10.
  • Valores notáveis: y(0)=-2 (conforme condição inicial) e, por exemplo, y(4)=10-12 e^{-1}\approx 10-4{,}414\approx 5{,}586.
  • Esboço qualitativo: começa em (0,-2) com inclinação inicial y'(0)=3, sobe de forma decrescente em inclinação, atravessa valores intermediários e aproxima-se horizontalmente de y=10 sem jamais alcançá-la.

Resposta

y(t)=10-12e^{-t/4}
Esboço: curva crescente que passa por (0,-2), com inclinação inicial 3, e com assíntota horizontal y=10.
Comportamento quando t aumenta: y(t) é crescente e \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=10.

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