Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
aumenta.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: encontrar a solução da equação diferencial com valores iniciais, esboçar o gráfico dessa solução e descrever o comportamento quando
aumenta.
As informações dadas são:
As informações dadas são:
Passo 2
Vamos decidir como resolver. Aqui temos uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. O método padrão e mais direto é usar a equação característica: assumimos soluções da forma
, substituímos na EDO e obtemos uma equação polinomial (a equação característica) para
. Esse método é prático e rápido para este tipo de EDO.
Passo 3
Formamos a equação característica substituindo
em
. Como
e
, temos:
Como
, dividimos por
e obtemos a equação característica:
Fatorando:
Logo as raízes são
Passo 4
Como as raízes são reais distintas (na verdade uma é zero), a solução geral da EDO é combinação linear das exponenciais correspondentes. A forma geral é
Substituindo os valores de
e
temos
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Calculamos a derivada
para aplicar
. Derivando a expressão geral:
Agora aplicamos as condições iniciais.
Primeiro
:
Resolvendo para
:
Em seguida
:
Então
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular:
Também podemos escrever a derivada explícita:
Passo 7
Análise do comportamento quando
aumenta e esboço qualitativo:
- O termo
é uma exponencial decrescente positiva que tende a quando . Portanto o termo tende a e tende a . Assim tem uma assíntota horizontal em . - Como
para todo , a função é estritamente crescente em todo . A derivada é decrescente em magnitude (vai para ), então a curva sobe cada vez mais lentamente e se aproxima horizontalmente de . - Valores notáveis:
(conforme condição inicial) e, por exemplo, . - Esboço qualitativo: começa em
com inclinação inicial , sobe de forma decrescente em inclinação, atravessa valores intermediários e aproxima-se horizontalmente de sem jamais alcançá-la.
Resposta
Esboço: curva crescente que passa por
Comportamento quando