Encontre a solução geral da a equação diferencial
y^{\prime \prime}-y^{\prime}+9 y=\cos (3 x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-y'+9y=\cos(3x).
O que é pedido: encontrar a solução geral y(x) — isto é, a família de todas as soluções, escrita em termos de constantes arbitrárias.
Informações relevantes do enunciado:
  • É uma equação linear não-homogênea de segunda ordem.
  • O termo não-homogêneo é \cos(3x).
  • Não há condições iniciais fornecidas (logo a solução geral terá duas constantes arbitrárias).

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada (colocando o lado direito igual a zero):
y''-y'+9y=0.
A técnica padrão é procurar soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-r+9=0.
Esta é uma equação quadrática em r. Vamos resolvê-la com a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{1\pm\sqrt{1-4\cdot1\cdot9}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{1-36}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-35}}{2}.
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas:
r=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{35}}{2}.
Quando as raízes da característica são r=\alpha\pm i\beta (com \alpha,\beta reais e \beta\neq0), a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes reais arbitrárias. Aqui \alpha=\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{35}}{2}. Portanto
y_{h}(x)=e^{x/2}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{35}}{2}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{35}}{2}x\big)\Big).

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa. O termo forçante é \cos(3x). Uma estratégia clássica (método dos coeficientes a determinar) recomenda tentar uma solução particular da forma
y_{p}(x)=A\cos(3x)+B\sin(3x),
com A,B constantes a determinar, salvo se houver ressonância com a solução homogênea. Explico a ressonância: se alguma combinação do tipo e^{0x}\cos(3x) ou e^{0x}\sin(3x) já estivesse presente na solução homogênea, seria preciso multiplicar a tentativa por x. Aqui a parte oscilatória da homogênea tem frequência \beta=\tfrac{\sqrt{35}}{2}, que não é igual a 3 (isto é, \tfrac{\sqrt{35}}{2}\neq 3), portanto NÃO há ressonância e a forma proposta é adequada.

Passo 4

Calculemos y_{p}' e y_{p}''. Para
y_{p}(x)=A\cos(3x)+B\sin(3x),
temos derivadas (usando as regras básicas \tfrac{d}{dx}\cos(3x)=-3\sin(3x) e \tfrac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x)):
y_{p}'(x)=-3A\sin(3x)+3B\cos(3x),
y_{p}''(x)=-9A\cos(3x)-9B\sin(3x).
Substituímos y_{p},y_{p}',y_{p}'' na equação diferencial:
y_{p}''-y_{p}'+9y_{p} = \big(-9A\cos(3x)-9B\sin(3x)\big) -\big(-3A\sin(3x)+3B\cos(3x)\big) + 9\big(A\cos(3x)+B\sin(3x)\big).
Agrupando os termos em \cos(3x) e \sin(3x) separadamente (cada coeficiente deve igualar o correspondente no lado direito \cos(3x)), obtemos:
  • Coeficiente de \cos(3x):
(-9A)\;-\;3B\;+\;9A = -3B.
  • Coeficiente de \sin(3x):
(-9B)\;+\;3A\;+\;9B = 3A.
Portanto a expressão inteira simplifica para
y_{p}''-y_{p}'+9y_{p} = (-3B)\cos(3x) + (3A)\sin(3x).
Queremos que isto seja igual a \cos(3x), que é 1\cdot\cos(3x)+0\cdot\sin(3x). Igualando coeficientes:
-3B = 1,\qquad 3A = 0.

Passo 5

Resolvendo o sistema para A,B:
3A=0 \Rightarrow A=0,
-3B=1 \Rightarrow B=-\tfrac{1}{3}.
Logo a solução particular é
y_{p}(x)=0\cdot\cos(3x)-\tfrac{1}{3}\sin(3x) = -\tfrac{1}{3}\sin(3x).

Passo 6

A solução geral da equação, somando a parte homogênea e a particular, é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=e^{x/2}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{35}}{2}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{35}}{2}x\big)\Big)-\tfrac{1}{3}\sin(3x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.
Se quiser, posso mostrar rapidamente como verificar a solução substituindo-a de volta na equação (é uma boa checagem). Vai dar tudo certo — você está indo bem!

Resposta

y(x)=e^{x/2}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{35}}{2}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{35}}{2}x\big)\Big)-\tfrac{1}{3}\sin(3x)

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