Encontre a solução geral da a equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O que é pedido: encontrar a solução geral
— isto é, a família de todas as soluções, escrita em termos de constantes arbitrárias.
Informações relevantes do enunciado:
- É uma equação linear não-homogênea de segunda ordem.
- O termo não-homogêneo é
. - Não há condições iniciais fornecidas (logo a solução geral terá duas constantes arbitrárias).
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada (colocando o lado direito igual a zero):
A técnica padrão é procurar soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Esta é uma equação quadrática em
. Vamos resolvê-la com a fórmula de Bhaskara:
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas:
Quando as raízes da característica são
(com
reais e
), a solução geral da homogênea é
onde
são constantes reais arbitrárias. Aqui
e
. Portanto
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. O termo forçante é
. Uma estratégia clássica (método dos coeficientes a determinar) recomenda tentar uma solução particular da forma
com
constantes a determinar, salvo se houver ressonância com a solução homogênea. Explico a ressonância: se alguma combinação do tipo
ou
já estivesse presente na solução homogênea, seria preciso multiplicar a tentativa por
. Aqui a parte oscilatória da homogênea tem frequência
, que não é igual a
(isto é,
), portanto NÃO há ressonância e a forma proposta é adequada.
Passo 4
Calculemos
e
. Para
temos derivadas (usando as regras básicas
e
):
Substituímos
na equação diferencial:
Agrupando os termos em
e
separadamente (cada coeficiente deve igualar o correspondente no lado direito
), obtemos:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Portanto a expressão inteira simplifica para
Queremos que isto seja igual a
, que é
. Igualando coeficientes:
Passo 5
Resolvendo o sistema para
:
Logo a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação, somando a parte homogênea e a particular, é
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Se quiser, posso mostrar rapidamente como verificar a solução substituindo-a de volta na equação (é uma boa checagem). Vai dar tudo certo — você está indo bem!