Encontre a solução geral da a equação diferencial
\frac{d^{3} y}{d x^{3}}-\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-12 \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
\frac{d^{3}y}{dx^{3}}-\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-12\frac{dy}{dx}=0.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial ordinária homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes.
  • Não foram dadas condições iniciais; logo a resposta deve ser a solução geral, com constantes arbitrárias.

Passo 2

Ideia de resolução (motivo do método que vou usar).
Uma técnica padrão para equações lineares homogêneas de coeficientes constantes é procurar soluções do tipo y=e^{rx}, porque derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx} e isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r (a chamada equação característica). Vou explicar isso devagar.
Se y=e^{rx}, então
\frac{dy}{dx}=r e^{rx},\qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=r^{2} e^{rx},\qquad \frac{d^{3}y}{dx^{3}}=r^{3} e^{rx}.
Substituindo essas expressões na equação dada, toda a solução fica multiplicada por e^{rx} (que nunca é zero), então obtemos uma equação apenas em r. Essa equação em r é a equação característica.

Passo 3

Formação da equação característica.
Substituindo as derivadas na equação original:
r^{3}e^{rx}-r^{2}e^{rx}-12r e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^{3}-r^{2}-12r=0.

Passo 4

Resolver a equação característica.
Começo por fatorar r em evidência:
r^{3}-r^{2}-12r = r\left(r^{2}-r-12\right)=0.
Então ou r=0 ou r^{2}-r-12=0. Para a quadrática, fatoro ou uso fórmula de Bhaskara. Ela fatora assim:
r^{2}-r-12=(r-4)(r+3).
Logo as raízes são
r=0,\qquad r=4,\qquad r=-3.

Passo 5

Construir a solução geral a partir das raízes distintas.
Quando a equação característica tem raízes reais e distintas r_1,r_2,r_3, as soluções independentes são e^{r_1 x},e^{r_2 x},e^{r_3 x} e a solução geral é combinação linear dessas exponenciais com constantes arbitrárias. Aqui as três raízes são distintas 0,4,-3. Assim uma base de soluções é e^{0x}=1,\\ e^{4x},\\ e^{-3x}.
Portanto a solução geral é
y(x)=C_{1}\cdot 1 + C_{2} e^{4x} + C_{3} e^{-3x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes reais arbitrárias.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida (como checar na prova).
  • C_{1} corresponde à solução constante associada à raiz r=0.
  • Para verificar, pode-se derivar y, y', y'', y''' e substituir na equação original; cada exponencial satisfaz a equação porque seu r satisfaz a equação característica.
  • Observação didática: se houvesse raízes repetidas, por exemplo r com multiplicidade m, as soluções associadas seriam e^{rx}, x e^{rx}, x^{2}e^{rx},\dots,x^{m-1}e^{rx}. Se houvesse raízes complexas conjugadas a\pm ib, as soluções reais correspondentes seriam e^{ax}\cos(bx) e e^{ax}\sin(bx).

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{4x}+C_{3}e^{-3x}

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