Encontre a solução geral da a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial ordinária homogênea de ordem
com coeficientes constantes. - Não foram dadas condições iniciais; logo a resposta deve ser a solução geral, com constantes arbitrárias.
Passo 2
Ideia de resolução (motivo do método que vou usar).
Uma técnica padrão para equações lineares homogêneas de coeficientes constantes é procurar soluções do tipo , porque derivadas de
são múltiplos de
e isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
(a chamada equação característica). Vou explicar isso devagar.
Uma técnica padrão para equações lineares homogêneas de coeficientes constantes é procurar soluções do tipo
Se
, então
Substituindo essas expressões na equação dada, toda a solução fica multiplicada por
(que nunca é zero), então obtemos uma equação apenas em
. Essa equação em
é a equação característica.
Passo 3
Formação da equação característica.
Substituindo as derivadas na equação original:
Substituindo as derivadas na equação original:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 4
Resolver a equação característica.
Começo por fatorar em evidência:
Começo por fatorar
Então ou
ou
. Para a quadrática, fatoro ou uso fórmula de Bhaskara. Ela fatora assim:
Logo as raízes são
Passo 5
Construir a solução geral a partir das raízes distintas.
Quando a equação característica tem raízes reais e distintas , as soluções independentes são
e a solução geral é combinação linear dessas exponenciais com constantes arbitrárias. Aqui as três raízes são distintas
. Assim uma base de soluções é
.
Quando a equação característica tem raízes reais e distintas
Portanto a solução geral é
onde
são constantes reais arbitrárias.
Passo 6
Interpretação e verificação rápida (como checar na prova).
-
corresponde à solução constante associada à raiz . - Para verificar, pode-se derivar
, , , e substituir na equação original; cada exponencial satisfaz a equação porque seu satisfaz a equação característica. - Observação didática: se houvesse raízes repetidas, por exemplo
com multiplicidade , as soluções associadas seriam . Se houvesse raízes complexas conjugadas , as soluções reais correspondentes seriam e .