(5) Encontre a solução geral da equação
y'' - 2y' + 2y = 0
e determine a solução y = y(t) dessa EDO que satisfaz a condição y(0) = 1 e y'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos resolver. A gente tem a equação diferencial e precisa encontrar a solução geral dela. Depois, vamos determinar a solução específica que atende às condições e . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a equação característica, encontrar suas raízes e montar a solução geral. Depois, aplicamos as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. A forma geral para uma equação do tipo é substituir , o que nos leva à equação característica . No nosso caso, a equação é , então a equação característica será:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos raízes complexas .

Passo 4

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde e . Portanto, a solução geral fica:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e . Primeiro, aplicamos :
Então, .

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a derivada de para aplicar a segunda condição :
Aplicando :
Como , temos:

Resposta

A solu��ão da equação diferencial que satisfaz as condições iniciais é:

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