.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma equação diferencial da forma
. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), e para resolver esse tipo de equação, geralmente precisamos separar as variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
A equação dada é
. Vamos reescrever
como
para facilitar a separação das variáveis:
Passo 3
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
para lados opostos da equação. Vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo será em termos de
e a do lado direito em termos de
:
Passo 5
Vamos resolver a integral do lado esquerdo primeiro. Sabemos que
é igual a
, e a integral de
é
. Então:
Aqui, usamos a substituição
, então
, e dividimos por 3.
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Usamos a identidade trigonométrica
:
Passo 7
Agora, igualamos as duas integrais e combinamos as constantes
e
em uma constante geral
:
Passo 8
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por 3:
Onde
é uma nova constante.
Passo 9
Agora, aplicamos a função arco-tangente para ambos os lados para resolver para
:
Passo 10
Finalmente, dividimos ambos os lados por 3 para obter a expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é a constante de integração.