Encontre a solução geral da seguintes equações de Bernoulli
y^{\prime}+x y=6 x \sqrt{y}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y'+x y=6x\sqrt{y}.
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve \sqrt{y}, logo para soluções reais precisamos ter y(x)\ge 0 no intervalo considerado (pois \sqrt{y} será a raiz quadrada real).
  • Precisamos encontrar a família geral de soluções (com constante arbitrária) e também verificar soluções singulares óbvias, como y\equiv 0.

Passo 2

Identificar o tipo de equação e a estratégia: a equação tem a forma de Bernoulli porque aparece um termo com potência de y diferente de 1. Vou transformar a equação usando a substituição natural aqui. Como \sqrt{y}=y^{1/2}, o expoente é n=\tfrac{1}{2}. Uma forma prática é definir
u(x)=\sqrt{y(x}),
então y=u^2. Vamos calcular y' em função de u:
y'= (u^2)' = 2u\,u'.
Substituindo y=u^2 e y'=2u u' na equação original:
2u\,u' + x u^2 = 6x u.
Agora simplifico dividindo por 2u. Antes de dividir devo observar que essa divisão só é válida quando u\neq 0 (isto é, y>0); o caso u\equiv 0 será tratado separadamente. Para u\neq 0,
u' + \frac{x}{2}u = 3x.
Portanto a substituição reduziu a equação de Bernoulli a uma equação linear de primeira ordem para u(x).

Passo 3

Resolver a equação linear para u:
u' + \frac{x}{2}u = 3x.
Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{x}{2}\,dx\right)=\exp\!\left(\frac{x^{2}}{4}\right).
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos uma derivada exata:
\frac{d}{dx}\!\left(u\,e^{x^{2}/4}\right)=3x\,e^{x^{2}/4}.
Integrando ambos os lados em relação a x:
u\,e^{x^{2}/4}=\int 3x\,e^{x^{2}/4}\,dx + C.
Para calcular a integral, faço a substituição t=\dfrac{x^{2}}{4}, então dt=\dfrac{x}{2}\,dx, isto é, x\,dx=2\,dt. Assim
\int 3x\,e^{x^{2}/4}\,dx = 3\int x\,e^{t}\,dx = 3\cdot 2\int e^{t}\,dt = 6 e^{t}=6 e^{x^{2}/4}.
Portanto
u\,e^{x^{2}/4}=6 e^{x^{2}/4} + C,
e isolando u,
u(x)=6 + C e^{-x^{2}/4},
onde C é constante arbitrária real.

Passo 4

Voltar à variável y. Lembrando y=u^2,
y(x)=\bigl(6 + C e^{-x^{2}/4}\bigr)^{2}.
Devemos checar a consistência com a raiz usada: começamos definindo u=\sqrt{y}, isto é, u foi a raiz não negativa de y. Assim a expressão encontrada para u deve satisfazer u(x)\ge 0 no intervalo onde a solução é válida; logo, para que y definida acima satisfaça a equação original com \sqrt{y} entendida como raiz positiva, é necessário escolher a constante C de modo que 6 + C e^{-x^{2}/4}\ge 0 no intervalo considerado. Há também a solução identicamente nula y\equiv 0: verificando diretamente, se y\equiv 0 então y'=0 e ambos os lados da equação são zero, logo é solução válida.
Observação sobre a outra “ramificação”: se alguém começasse com u=-\sqrt{y} (ou seja, pegasse a raiz negativa), então ao seguir o mesmo processo obteria a linear com sinal trocado no termo fonte e chegaria a u(x)=-6 + C e^{-x^{2}/4}, o que corresponde a soluções y=u^2 cuja raiz escolhida é negativa em todo o intervalo considerado. Na prática, para a equação original, a convenção \sqrt{y}\ge 0 impõe que usemos a família com u=6+Ce^{-x^{2}/4} escolhendo C de forma que u\ge0; a solução identicamente nula também deve ser incluída.

Resposta

\displaystyle y(x)=\bigl(6+Ce^{-x^{2}/4}\bigr)^{2},\quad C\in\mathbb{R}.
\displaystyle y(x)\equiv 0.

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