Encontre a solução geral da seguintes equações de Bernoulli
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações relevantes dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve
, logo para soluções reais precisamos ter no intervalo considerado (pois será a raiz quadrada real). - Precisamos encontrar a família geral de soluções (com constante arbitrária) e também verificar soluções singulares óbvias, como
.
Passo 2
Identificar o tipo de equação e a estratégia: a equação tem a forma de Bernoulli porque aparece um termo com potência de
diferente de
. Vou transformar a equação usando a substituição natural aqui. Como
, o expoente é
. Uma forma prática é definir
então
. Vamos calcular
em função de
:
Substituindo
e
na equação original:
Agora simplifico dividindo por
. Antes de dividir devo observar que essa divisão só é válida quando
(isto é,
); o caso
será tratado separadamente. Para
,
Portanto a substituição reduziu a equação de Bernoulli a uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 3
Resolver a equação linear para
:
Calcular o fator integrante
:
Multiplicando a equação por
obtemos uma derivada exata:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Para calcular a integral, faço a substituição
, então
, isto é,
. Assim
Portanto
e isolando
,
onde
é constante arbitrária real.
Passo 4
Voltar à variável
. Lembrando
,
Devemos checar a consistência com a raiz usada: começamos definindo
, isto é,
foi a raiz não negativa de
. Assim a expressão encontrada para
deve satisfazer
no intervalo onde a solução é válida; logo, para que
definida acima satisfaça a equação original com
entendida como raiz positiva, é necessário escolher a constante
de modo que
no intervalo considerado. Há também a solução identicamente nula
: verificando diretamente, se
então
e ambos os lados da equação são zero, logo é solução válida.
Observação sobre a outra “ramificação”: se alguém começasse com
(ou seja, pegasse a raiz negativa), então ao seguir o mesmo processo obteria a linear com sinal trocado no termo fonte e chegaria a
, o que corresponde a soluções
cuja raiz escolhida é negativa em todo o intervalo considerado. Na prática, para a equação original, a convenção
impõe que usemos a família com
escolhendo
de forma que
; a solução identicamente nula também deve ser incluída.