Encontre a solução geral da seguintes equações de Bernoulli
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede: encontrar a solução geral
.
Informações dadas e pontos importantes extraídos do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - O coeficiente multiplicando
é o número . - O termo do lado direito é a função explícita
. - Quer-se a solução geral, ou seja, a família de todas as soluções (com constante de integração).
Passo 2
Transformar a equação para a forma padrão que facilita a resolução. Divido todos os termos por
para isolar
:
Explicando o que eu fiz e por quê:
- Colocar a equação na forma
é uma forma padrão que permite aplicar o método do fator integrante. - Aqui
e . - O objetivo do fator integrante é transformar o lado esquerdo na derivada de um produto
, o que torna a equação integrável diretamente.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. A fórmula do fator integrante é
No nosso caso
, então
Multiplico a equação padrão por
:
Pelo propósito do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto
; logo
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
Para computá-la escolho a substituição
. Então
Também podemos reescrever
em função de
:
Substituindo tudo em
:
Passo 5
Calcular
. Vou usar a fórmula geral (obtida por partes repetidas):
onde aqui
e
. Primeiro calculo as potências de
:
Aplicando a fórmula para
:
Substituindo os valores calculados:
Fatorando
por clareza:
Passo 6
Voltar à integral
. Lembrando
substituo o resultado anterior:
Simplificando:
Como
e lembrando
, obtemos
Portanto
Passo 7
Retornar à expressão para
. Lembremos que
onde agora
é constante (absorvendo constantes anteriores). Substituindo
:
Isto simplifica para
Dividindo por
e substituindo
, obtemos a solução geral
onde
é a constante de integração (denotei
no lugar de
).