Encontre a solução geral da seguintes equações de Bernoulli
3 y^{\prime}+y=(1-2 x)^{4}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
3\,y^{\prime}+y=(1-2x)^{4}
e pede: encontrar a solução geral y(x).
Informações dadas e pontos importantes extraídos do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada é y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}.
  • O coeficiente multiplicando y^{\prime} é o número 3.
  • O termo do lado direito é a função explícita (1-2x)^{4}.
  • Quer-se a solução geral, ou seja, a família de todas as soluções (com constante de integração).

Passo 2

Transformar a equação para a forma padrão que facilita a resolução. Divido todos os termos por 3 para isolar y^{\prime}:
y^{\prime}+\frac{1}{3}y=\frac{1}{3}(1-2x)^{4}.
Explicando o que eu fiz e por quê:
  • Colocar a equação na forma y'+p(x)y=q(x) é uma forma padrão que permite aplicar o método do fator integrante.
  • Aqui p(x)=\dfrac{1}{3} e q(x)=\dfrac{1}{3}(1-2x)^{4}.
  • O objetivo do fator integrante é transformar o lado esquerdo na derivada de um produto \big(\mu(x)y\big)', o que torna a equação integrável diretamente.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). A fórmula do fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
No nosso caso p(x)=\dfrac{1}{3}, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{3}\,dx\right)=\exp\!\left(\frac{x}{3}\right)=e^{x/3}.
Multiplico a equação padrão por \mu(x):
e^{x/3}y^{\prime}+\frac{1}{3}e^{x/3}y=\frac{1}{3}e^{x/3}(1-2x)^{4}.
Pelo propósito do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(x)y; logo
\big(e^{x/3}y\big)'=\frac{1}{3}e^{x/3}(1-2x)^{4}.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^{x/3}y=\frac{1}{3}\int e^{x/3}(1-2x)^{4}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
I=\int e^{x/3}(1-2x)^{4}\,dx.
Para computá-la escolho a substituição \;u=1-2x\;. Então
x=\frac{1-u}{2},\qquad dx=-\frac{1}{2}\,du.
Também podemos reescrever e^{x/3} em função de u:
e^{x/3}=e^{(1-u)/6}=e^{1/6}\,e^{-u/6}.
Substituindo tudo em I:
I=\int e^{x/3}(1-2x)^{4}\,dx = \int e^{1/6}e^{-u/6}u^{4}\left(-\frac{1}{2}\,du\right) = -\frac{e^{1/6}}{2}\int u^{4}e^{-u/6}\,du.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int u^{4}e^{-u/6}\,du. Vou usar a fórmula geral (obtida por partes repetidas):
\int u^{n}e^{\alpha u}\,du = e^{\alpha u}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{\,n-k}\frac{n!}{k!\,\alpha^{\,n-k+1}}\,u^{k}+C,
onde aqui n=4 e \alpha=-\dfrac{1}{6}. Primeiro calculo as potências de 1/\alpha:
\frac{1}{\alpha}=-6,\qquad \frac{1}{\alpha^{2}}=36,\qquad \frac{1}{\alpha^{3}}=-216,\qquad \frac{1}{\alpha^{4}}=1296,\qquad \frac{1}{\alpha^{5}}=-7776.
Aplicando a fórmula para n=4:
\int u^{4}e^{-u/6}\,du = e^{-u/6}\Big(u^{4}\cdot\frac{1}{\alpha}-4u^{3}\cdot\frac{1}{\alpha^{2}}+12u^{2}\cdot\frac{1}{\alpha^{3}}-24u\cdot\frac{1}{\alpha^{4}}+24\cdot\frac{1}{\alpha^{5}}\Big)+C.
Substituindo os valores calculados:
\int u^{4}e^{-u/6}\,du = e^{-u/6}\big(-6u^{4}-144u^{3}-2592u^{2}-31104u-186624\big)+C.
Fatorando -6 por clareza:
\int u^{4}e^{-u/6}\,du = -6\,e^{-u/6}\big(u^{4}+24u^{3}+432u^{2}+5184u+31104\big)+C.

Passo 6

Voltar à integral I. Lembrando
I=-\frac{e^{1/6}}{2}\int u^{4}e^{-u/6}\,du,
substituo o resultado anterior:
I=-\frac{e^{1/6}}{2}\Big[-6\,e^{-u/6}\big(u^{4}+24u^{3}+432u^{2}+5184u+31104\big)\Big]+C.
Simplificando:
I=3\,e^{1/6}e^{-u/6}\big(u^{4}+24u^{3}+432u^{2}+5184u+31104\big)+C.
Como e^{1/6}e^{-u/6}=e^{(1-u)/6} e lembrando u=1-2x, obtemos
e^{1/6}e^{-u/6}=e^{(1-u)/6}=e^{x/3}.
Portanto
I=3\,e^{x/3}\big(u^{4}+24u^{3}+432u^{2}+5184u+31104\big)+C.

Passo 7

Retornar à expressão para y. Lembremos que
e^{x/3}y=\frac{1}{3}I + C_1,
onde agora C_1 é constante (absorvendo constantes anteriores). Substituindo I:
e^{x/3}y=\frac{1}{3}\cdot 3\,e^{x/3}\big(u^{4}+24u^{3}+432u^{2}+5184u+31104\big)+C_1.
Isto simplifica para
e^{x/3}y=e^{x/3}\big(u^{4}+24u^{3}+432u^{2}+5184u+31104\big)+C_1.
Dividindo por e^{x/3} e substituindo u=1-2x, obtemos a solução geral
y(x)=\big(1-2x\big)^{4}+24\big(1-2x\big)^{3}+432\big(1-2x\big)^{2}+5184\big(1-2x\big)+31104 + C\,e^{-x/3},
onde C é a constante de integração (denotei C no lugar de C_1).

Resposta

y(x)=\big(1-2x\big)^{4}+24\big(1-2x\big)^{3}+432\big(1-2x\big)^{2}+5184\big(1-2x\big)+31104 + C\,e^{-x/3}

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