Encontre a solução geral das seguintes Equações diferenciais ordinárias lineares de 1{ }^{\text {a }} ordem:
y^{\prime}-3 y=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
y' - 3y = e^{x}.
Informações dadas:
  • A equação é linear de primeira ordem, com incógnita y(x).
  • O termo do lado direito é e^{x}.
    O objetivo é obter a família de soluções gerais y(x) envolvendo uma constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y' + P(x)\,y = Q(x).
Comparando com \;y' - 3y = e^{x}\; vemos que
P(x) = -3,\qquad Q(x) = e^{x}.
Explico: aqui P(x) é a função que multiplica y no lado esquerdo (aqui constante -3) e Q(x) é o termo independente (aqui e^{x}). Essa é a forma em que se aplica o método do fator integrante.

Passo 3

Apresentar o método do fator integrante (ideia e fórmula).
  • Ideia: multiplicar a equação por uma função \mu(x) (o fator integrante) de modo que o lado esquerdo passe a ser a derivada de \mu(x)\,y(x).
  • Fórmula do fator integrante:
\mu(x) = e^{\displaystyle\int P(x)\,dx}.
Aqui P(x) é a função definida no passo anterior. Depois de multiplicar por \mu, obtém-se
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big) = \mu(x)\,Q(x),
o que se integra facilmente. Essa é uma técnica padrão para equações lineares de primeira ordem.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso caso.
Como P(x)=-3, temos
\mu(x)=e^{\int -3\,dx}=e^{-3x}.
Mostrar que é uma boa escolha: \mu'(x)=-3e^{-3x}.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{-3x}.
Multiplicando cada termo:
e^{-3x}y' - 3e^{-3x}y = e^{-3x}e^{x}.
No lado direito e^{-3x}e^{x}=e^{-2x}. Agora observo o lado esquerdo:
e^{-3x}y' - 3e^{-3x}y = \frac{d}{dx}\big(e^{-3x}y\big),
porque, usando a regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(e^{-3x}y\big) = e^{-3x}y' + (e^{-3x})' y = e^{-3x}y' + (-3e^{-3x})y.
Portanto a equação torna-se
\frac{d}{dx}\big(e^{-3x}y\big) = e^{-2x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x.
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-3x}y\big)\,dx = \int e^{-2x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{-3x}y. A integral do lado direito é uma integral exponencial simples:
\int e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}e^{-2x} + C,
onde C é a constante de integração (constante arbitrária).
Portanto obtemos
e^{-3x}y = -\tfrac{1}{2}e^{-2x} + C.

Passo 7

Isolar y(x) multiplicando por e^{3x}:
y = e^{3x}\!\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x} + C\right).
Simplificando os termos exponenciais:
e^{3x}\cdot e^{-2x} = e^{x}, \qquad e^{3x}\cdot C = C e^{3x}.
Logo
y(x) = -\tfrac{1}{2}e^{x} + C e^{3x}.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida (opcional, mas instrutiva).
  • C é uma constante arbitrária real, então essa expressão representa a solução geral.
  • Se quiser verificar, pode calcular y' a partir de y(x) e substituir na equação original; os termos se cancelam corretamente e resta e^{x} do lado direito.

Resposta

y(x)=C e^{3x}-\tfrac{1}{2}e^{x}

Exercícios relacionados