Encontre a solução geral das seguintes Equações diferenciais ordinárias lineares de
ordem:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
Informações dadas:
- A equação é linear de primeira ordem, com incógnita
. - O termo do lado direito é
.
O objetivo é obter a família de soluções geraisenvolvendo uma constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Comparando com
vemos que
Explico: aqui
é a função que multiplica
no lado esquerdo (aqui constante
) e
é o termo independente (aqui
). Essa é a forma em que se aplica o método do fator integrante.
Passo 3
Apresentar o método do fator integrante (ideia e fórmula).
- Ideia: multiplicar a equação por uma função
(o fator integrante) de modo que o lado esquerdo passe a ser a derivada de . - Fórmula do fator integrante:
Aqui
é a função definida no passo anterior. Depois de multiplicar por
, obtém-se
o que se integra facilmente. Essa é uma técnica padrão para equações lineares de primeira ordem.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso caso.
Como , temos
Como
Mostrar que é uma boa escolha:
.
Passo 5
Multiplicar a equação original por
.
Multiplicando cada termo:
Multiplicando cada termo:
No lado direito
. Agora observo o lado esquerdo:
porque, usando a regra do produto,
Portanto a equação torna-se
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
.
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é uma integral exponencial simples:
onde
é a constante de integração (constante arbitrária).
Portanto obtemos
Passo 7
Isolar
multiplicando por
:
Simplificando os termos exponenciais:
Logo
Passo 8
Interpretação final e verificação rápida (opcional, mas instrutiva).
-
é uma constante arbitrária real, então essa expressão representa a solução geral. - Se quiser verificar, pode calcular
a partir de e substituir na equação original; os termos se cancelam corretamente e resta do lado direito.