Dada a função f, encontre a sua aproximação linear L(x, y) no ponto P indicado para:
f(x, y)=\sqrt{x+e^{4 y}}, \quad P=(3,0). Utilize essa aproximação para estimar o valor de f(3,2 ; 0,4).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar a aproximação linear L(x,y) de f no ponto P.
  • Usar essa aproximação para estimar o valor de f no ponto indicado.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\sqrt{x+e^{4y}}.
  • O ponto de expansão é P=(3,0).
  • O valor a estimar está escrito no enunciado como f(3,2 ; 0,4); vou interpretar isso como o ponto (x,y)=(3,2,\;0,4), isto é, x=3,2 e y=0,4 (uso vírgula como separador decimal conforme o enunciado).

Passo 2

Conceito útil (mini-aula): a aproximação linear (plano tangente) de uma função de duas variáveis f(x,y) no ponto P=(a,b) é dada por
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b).
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente. A ideia é aproximar a função por um plano cuja inclinação em cada direção é dada pelas derivadas parciais no ponto.
Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt{x+e^{4y}}=(x+e^{4y})^{1/2}.
Derivada parcial em relação a x:
f_x(x,y)=\frac{1}{2}(x+e^{4y})^{-1/2}\cdot 1=\frac{1}{2\sqrt{x+e^{4y}}}.
Derivada parcial em relação a y: aplicar a regra da cadeia. A derivada de e^{4y} é 4e^{4y}, então
f_y(x,y)=\frac{1}{2}(x+e^{4y})^{-1/2}\cdot 4e^{4y}=\frac{2e^{4y}}{\sqrt{x+e^{4y}}}.

Passo 3

Avaliar f, f_x e f_y no ponto P=(3,0).
Calcular o termo dentro da raiz em P:
x+e^{4y}\Big|_{(3,0)}=3+e^{0}=3+1=4.
Portanto
f(3,0)=\sqrt{4}=2.
Agora f_x(3,0):
f_x(3,0)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}.
E f_y(3,0):
f_y(3,0)=\frac{2e^{0}}{\sqrt{4}}=\frac{2\cdot 1}{2}=1.

Passo 4

Construir a aproximação linear usando a fórmula:
L(x,y)=f(3,0)+f_x(3,0)(x-3)+f_y(3,0)(y-0).
Substituindo os valores que encontramos:
L(x,y)=2+\frac{1}{4}(x-3)+1\cdot y.
Podemos deixar assim ou expandir:
L(x,y)=2+\frac{x-3}{4}+y=\frac{1}{4}x+y+\frac{5}{4}.

Passo 5

Usar L para estimar f em (x,y)=(3,2,\;0,4), ou seja x=3,2 e y=0,4.
Calcular x-3:
x-3=3,2-3=0,2.
Logo
\frac{1}{4}(x-3)=\frac{1}{4}\cdot 0,2=0,05.
Somando:
L(3,2,\;0,4)=2+0,05+0,4=2,45.
Breve comentário prático: essa aproximação é boa porque o ponto (3,2,\;0,4) está relativamente perto de P=(3,0) na coordenada x e a variação em y é moderada; quanto mais próximo de P, mais confiável é a aproximação linear. Força aí — essa técnica é ótima para tirar respostas rápidas na prova.

Resposta

L(x,y)=2+\dfrac{1}{4}(x-3)+y=\dfrac{1}{4}x+y+\dfrac{5}{4}
f(3,2;\;0,4)\approx 2,45

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