Dada a função f, encontre a sua aproximação linear L(x, y) no ponto P indicado para: f(x, y)=\sqrt{x+e^{4 y}}, \quad P=(3,0). Utilize essa aproximação para estimar o valor de f(3,2 ; 0,4).
Passo 1
O que o enunciado pede:
Encontrar a aproximação linear L(x,y) de f no ponto P.
Usar essa aproximação para estimar o valor de f no ponto indicado.
Informações dadas:
A função é f(x,y)=\sqrt{x+e^{4y}}.
O ponto de expansão é P=(3,0).
O valor a estimar está escrito no enunciado como f(3,2 ; 0,4); vou interpretar isso como o ponto (x,y)=(3,2,\;0,4), isto é, x=3,2 e y=0,4 (uso vírgula como separador decimal conforme o enunciado).
Passo 2
Conceito útil (mini-aula): a aproximação linear (plano tangente) de uma função de duas variáveis f(x,y) no ponto P=(a,b) é dada por
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b).
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente. A ideia é aproximar a função por um plano cuja inclinação em cada direção é dada pelas derivadas parciais no ponto.
Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt{x+e^{4y}}=(x+e^{4y})^{1/2}.
Usar L para estimar f em (x,y)=(3,2,\;0,4), ou seja x=3,2 e y=0,4.
Calcular x-3:
x-3=3,2-3=0,2.
Logo
\frac{1}{4}(x-3)=\frac{1}{4}\cdot 0,2=0,05.
Somando:
L(3,2,\;0,4)=2+0,05+0,4=2,45.
Breve comentário prático: essa aproximação é boa porque o ponto (3,2,\;0,4) está relativamente perto de P=(3,0) na coordenada x e a variação em y é moderada; quanto mais próximo de P, mais confiável é a aproximação linear. Força aí — essa técnica é ótima para tirar respostas rápidas na prova.