Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial quando dado:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede (a) a solução geral e (b) a solução do problema de valor inicial, isto é, assumindo condições
e
. Para resolver vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada:
Calculamos o discriminante:
logo as raízes são complexas conjugadas
Passo 3
Como as raízes são
com
e
, a solução geral é
Passo 4
Agora impomos as condições iniciais
e
. Primeiro, de
vem
Em seguida, calculamos
Em
:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução do PVI:
Resposta
Solução geral:
Solução do problema de valor inicial
: