Encontre a solução geral e a solução do problema de valor inicial quando dado:
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 6y' + 13y = 0
e pede (a) a solução geral e (b) a solução do problema de valor inicial, isto é, assumindo condições
\;y(0)=y_0 e \;y'(0)=y_1. Para resolver vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 6r + 13 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 6^2 - 4\cdot1\cdot13 = 36 - 52 = -16,
logo as raízes são complexas conjugadas
r = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = -3 \pm 2\,\mathrm{i}.

Passo 3

Como as raízes são r = \alpha \pm \beta\,\mathrm{i} com \alpha=-3 e \beta=2, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr) = e^{-3x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr).

Passo 4

Agora impomos as condições iniciais
\;y(0)=y_0 e \;y'(0)=y_1. Primeiro, de y(0)=y_0 vem
y(0) = C_1 = y_0.
Em seguida, calculamos
y'(x) = e^{-3x}\bigl(-3C_1\cos(2x)-3C_2\sin(2x)-2C_1\sin(2x)+2C_2\cos(2x)\bigr).
Em x=0:
y'(0) = -3C_1 + 2C_2 = y_1 \;\Longrightarrow\; -3y_0 + 2C_2 = y_1 \;\Longrightarrow\; C_2 = \frac{y_1 + 3y_0}{2}.

Passo 5

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução do PVI:
y(x) = e^{-3x}\Bigl(y_0\cos(2x) + \frac{y_1 + 3y_0}{2}\,\sin(2x)\Bigr).

Resposta

Solução geral:
y(x) = e^{-3x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr).
Solução do problema de valor inicial y(0)=y_0,\;y'(0)=y_1:
y(x) = e^{-3x}\Bigl(y_0\cos(2x) + \tfrac{y_1 + 3y_0}{2}\,\sin(2x)\Bigr).

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