Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
E precisamos encontrar a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais homogêneas com coeficientes constantes. Precisamos encontrar as raízes da equação característica e então aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso, os coeficientes são
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes
:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Então:
Isso nos dá as duas raízes:
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas (
), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos derivar a solução geral para encontrar
:
Aplicando a segunda condição inicial
:
Passo 7
Substituindo
na equação acima:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A solução particular que satisfaz as condições iniciais é: