Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
y'' + 6y' + 5y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 4

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
E precisamos encontrar a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais homogêneas com coeficientes constantes. Precisamos encontrar as raízes da equação característica e então aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso, os coeficientes são e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes :
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Então:
Isso nos dá as duas raízes:

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas ( ), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui, e são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 6

Agora, vamos derivar a solução geral para encontrar :
Aplicando a segunda condição inicial :

Passo 7

Substituindo na equação acima:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições iniciais é:

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