Encontre a solução para o problema de valor inicial para as equações abaixo, considerando a família de soluções dadas:
y^{\prime}+2 x y^{2}=0 ; \quad y=\frac{1}{\left(x^{2}+c\right)} ; y(2)=\frac{1}{3} ; y(0)=1 ; y(-2)=\frac{1}{2} е y\left(\frac{1}{2}\right)=-4

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação
y' + 2x\,y^{2} = 0
sabendo que a família geral de soluções é
y = \frac{1}{x^{2} + c}
e aplicando, separadamente, as condições iniciais \;y(2)=\tfrac13,\;y(0)=1,\;y(-2)=\tfrac12\; e \;y(\tfrac12)=-4.

Passo 2

Vamos relembrar rapidamente a derivação da solução geral por separação de variáveis:
y' = \frac{dy}{dx} = -2x\,y^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{2}} = -2x\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y^{2}} = \int -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{y} = -x^{2} + K.
Isolando y e definindo c = -K, obtemos
\frac{1}{y} = x^{2} + c \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{x^{2} + c}.

Passo 3

Aplicando y(2)=\tfrac13:
\frac{1}{2^{2} + c} = \frac13 \quad\Longrightarrow\quad 4 + c = 3 \quad\Longrightarrow\quad c = -1.
Logo a solução para essa condição é
y = \frac{1}{x^{2} - 1}.

Passo 4

Aplicando y(0)=1:
\frac{1}{0^{2} + c} = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = 1.
Então a solução é
y = \frac{1}{x^{2} + 1}.

Passo 5

Aplicando y(-2)=\tfrac12:
\frac{1}{(-2)^{2} + c} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad 4 + c = 2 \quad\Longrightarrow\quad c = -2.
Dessa forma
y = \frac{1}{x^{2} - 2}.

Passo 6

Aplicando y(\tfrac12)=-4:
\frac{1}{(\tfrac12)^{2} + c} = -4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\tfrac14 + c} = -4 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac14 + c = -\tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad c = -\tfrac12.
Então a solução correspondente é
y = \frac{1}{x^{2} - \tfrac12}.

Resposta

Para as condições iniciais, as soluções são:
(a) y(2)=\tfrac13 \longrightarrow y = \dfrac{1}{x^{2} - 1}.
(b) y(0)=1 \longrightarrow y = \dfrac{1}{x^{2} + 1}.
(c) y(-2)=\tfrac12 \longrightarrow y = \dfrac{1}{x^{2} - 2}.
(d) y(\tfrac12)=-4 \longrightarrow y = \dfrac{1}{x^{2} - \tfrac12}.

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