Encontre a solução para o problema de valor inicial para as equações abaixo, considerando a família de soluções dadas:
x^{\prime \prime}+x=0 ; \quad x=c_{1} \cos t+c_{2} \operatorname{sen} t ; \quad x\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e x^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a equação diferencial
x'' + x = 0
cuja família geral de soluções é
x(t) = c_{1}\cos t + c_{2}\sin t.
As condições iniciais são
x\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=0 \quad\text{e}\quad x'\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=1.
Vamos usar essas condições para determinar c_{1} e c_{2}.

Passo 2

Primeiro calculamos
x\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = c_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + c_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = c_{1}\cdot 0 + c_{2}\cdot 1 = c_{2}.
Como x(\tfrac{\pi}{2})=0, obtemos
c_{2}=0.

Passo 3

Agora derivamos x(t):
x'(t) = -\,c_{1}\sin t + c_{2}\cos t.
Em t=\tfrac{\pi}{2} isso vira
x'\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = -\,c_{1}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + c_{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\,c_{1}\cdot 1 + 0\cdot 0 = -\,c_{1}.
Como x'(\tfrac{\pi}{2})=1, segue que
-\,c_{1} = 1 \quad\Longrightarrow\quad c_{1} = -1.

Passo 4

Substituindo c_{1}=-1 e c_{2}=0 na solução geral, achamos
x(t) = -1\cdot \cos t + 0\cdot \sin t = -\cos t.

Resposta

x(t) = -\cos t.

Exercícios relacionados