Encontre a solução para o problema de valor inicial para as equações abaixo, considerando a família de soluções dadas: x^{\prime \prime}+x=0 ; \quad x=c_{1} \cos t+c_{2} \operatorname{sen} t ; \quad x\left(\frac{\pi}{6}\right)=1=\frac{1}{2} e x^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)=1
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
Para achar c_{1} e c_{2}, vamos derivar x(t), avaliar em t=\tfrac{\pi}{6} e resolver o sistema resultante.
Passo 2
Calculando a derivada,
x'(t)=-c_{1}\sin t+c_{2}\cos t.
Em t=\tfrac{\pi}{6} temos \sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac12 e \cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt3}{2}. Logo as duas condições viram o sistema