Encontre a solução do problema de valor inicial:
l 6 y^prime prime-5 y^prime+y=0 y(0)=4 y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria envolvida é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
6 y'' - 5 y' + y = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver esse tipo de equação, a gente usa o que chamamos de equação característica.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo $ y $ por $ e^{rt} $ na equação diferencial, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar. Fazendo isso, temos:
y

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. A equação é:
r
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver equações quadráticas $ ax^2 + bx + c = 0 $:
6 r^2 - 5 r + 1 = 0
Aqui, $ a = 6 $, $ b = -5 $ e $ c = 1 $. Vamos substituir:
ax^2 + bx + c = 0
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 6
b = -5
Então, temos duas soluções:
c = 1
r = -(-5) pm raiz(-5)^2 - 4 cdot 6 cdot 12 cdot 6

Passo 5

Como encontramos dois valores reais e distintos para $ r $, a solução geral da equação diferencial é dada por:
r
Substituindo os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t

Passo 6

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $. As condições são:
C1
C2
Primeiro, vamos calcular $ y(0) $:
y(0) = 4
Isso nos dá a primeira equação:
y'(0) = 0

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada de $ y(t) $ para usar a segunda condição $ y’(0) = 0 $:
y(t)
Agora, aplicando $ t = 0 $:
y'(0) = 0
Isso nos dá a segunda equação:
y'(t) = 12 C1 e^12 t + 13 C2 e^13 t

Passo 8

Vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2):
C1 + C2 = 4 12 C1 + 13 C2 = 0
Primeiro, podemos multiplicar a segunda equação por 6 para eliminar os denominadores:
3 C1 + 2 C2 = 0 (2')
Agora, temos:
C1 + C2 = 4 (1) 3 C1 + 2 C2 = 0 (2')
Podemos resolver pela substituição. Da equação (1):
C1 = 4 - C2
Substituindo na equação (2’):
3(4 - C2) + 2 C2 = 0
12 - 3 C2 + 2 C2 = 0
12 - C2 = 0
C2 = 12
Agora, substituindo $ C_2 = 12 $ na equação (1):
C2 = 12
C1 + 12 = 4
C1 = 4 - 12

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = -8 e^12 t + 12 e^13 t

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