Encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria envolvida é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver esse tipo de equação, a gente usa o que chamamos de equação característica.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo $ y $ por $ e^{rt} $ na equação diferencial, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar. Fazendo isso, temos:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. A equação é:
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver equações quadráticas $ ax^2 + bx + c = 0 $:
Aqui, $ a = 6 $, $ b = -5 $ e $ c = 1 $. Vamos substituir:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Como encontramos dois valores reais e distintos para $ r $, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $:
Passo 6
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $. As condições são:
Primeiro, vamos calcular $ y(0) $:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada de $ y(t) $ para usar a segunda condição $ y’(0) = 0 $:
Agora, aplicando $ t = 0 $:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 8
Vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2):
Primeiro, podemos multiplicar a segunda equação por 6 para eliminar os denominadores:
Agora, temos:
Podemos resolver pela substituição. Da equação (1):
Substituindo na equação (2’):
Agora, substituindo $ C_2 = 12 $ na equação (1):
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: