Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+5 y^prime+6 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=3
Escolha uma opção:
y=12 e^t3-8 e^t2

Passo 1

O enunciado apresenta um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, dado por
y'' + 5y' + 6y = 0,
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=3. Para resolver, vamos usar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo y = e^rt:
r^2 + 5r + 6 = 0
Isso nos diz quais são os expoentes das soluções da forma exponencial.

Passo 3

Resolvendo r^2 + 5r + 6 = 0 em bloco:
r^2 + 5r + 6 = (r + 2)(r + 3) = 0,
obtemos as raízes r1 = -2 e r2 = -3.

Passo 4

A solução geral da equação homogênea é
y(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t
Agora vamos impor y(0)=2 e y'(0)=3 para determinar C1 e C2.

Passo 5

Calculamos a derivada:
y'(t) = -2 C1 e^-2t - 3 C2 e^-3t
Em t=0 isso vira o sistema:
C1 + C2 = 2, -2 C1 - 3 C2 = 3
Resolvendo, obtemos C1 = 9 e C2 = -7.

Resposta

y(t) = 9e^-2t - 7e^-3t

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