O enunciado apresenta um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, dado por
y'' + 5y' + 6y = 0,
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=3. Para resolver, vamos usar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada substituindo y = e^rt:
r^2 + 5r + 6 = 0
Isso nos diz quais são os expoentes das soluções da forma exponencial.
Passo 3
Resolvendo r^2 + 5r + 6 = 0 em bloco:
r^2 + 5r + 6 = (r + 2)(r + 3) = 0,
obtemos as raízes r1 = -2 e r2 = -3.
Passo 4
A solução geral da equação homogênea é
y(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t
Agora vamos impor y(0)=2 e y'(0)=3 para determinar C1 e C2.