Ex. 2. Rescrever as equações diferenciais (ou sistemas) como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem na forma matricial. Calcule uma matriz fundamental para o sistema. Dê a solução geral do sistema. Dê a solução geral da equação dada.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever o sistema como um sistema de primeira ordem na forma , calcular uma matriz fundamental deste sistema e, por fim, dar a solução geral do sistema e da própria equação. Vamos usar teoria de sistemas lineares e autovalores/autovetores.
Passo 2
Definimos o vetor-estado de dimensão 3 como . Então as equações viram um sistema de primeira ordem:
A derivada é
dot z=dot x ddot x dot y=dot x -x-y -2dot x+2y
Passo 3
Escrevendo em forma matricial dot z=A,z, temos
A=0&1&0 -1&0&-1 0&-2&2,dot z=A,z
Passo 4
O polinômio característico de A satisfaz
det(A-lambda I)=det-lambda&1&0 -1&-lambda&-1 0&-2&2-lambda= -lambda^3+2lambda^2+lambda+2=0,
ou seja lambda^3-2lambda^2-lambda-2=0
Este cubo não fatoriza em racionais; chamaremos suas raízes de lambda1in R (única real) e lambda2,3=alphapm ibeta (par complexo).
Passo 5
Uma matriz fundamental pode ser escrita como
Phi(t)=exp(A,t),
Passo 6
ou explicitamente, escolhendo vetores próprios v1,v2,v3,