Ex. 2. Rescrever as equações diferenciais (ou sistemas) como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem na forma matricial. Calcule uma matriz fundamental para o sistema. Dê a solução geral do sistema. Dê a solução geral da equação dada.
lddotx=-x-y doty=-2 dotx+2 y

Passo 1

O enunciado pede para reescrever o sistema ddot x=-x-y,;dot y=-2dot x+2y como um sistema de primeira ordem na forma dot z=A,z, calcular uma matriz fundamental deste sistema e, por fim, dar a solução geral do sistema e da própria equação. Vamos usar teoria de sistemas lineares e autovalores/autovetores.

Passo 2

Definimos o vetor-estado de dimensão 3 como z=x dot x y. Então as equações viram um sistema de primeira ordem:
A derivada é
dot z=dot x ddot x dot y=dot x -x-y -2dot x+2y

Passo 3

Escrevendo em forma matricial dot z=A,z, temos
A=0&1&0 -1&0&-1 0&-2&2,dot z=A,z

Passo 4

O polinômio característico de A satisfaz
det(A-lambda I)=det-lambda&1&0 -1&-lambda&-1 0&-2&2-lambda= -lambda^3+2lambda^2+lambda+2=0,
ou seja
lambda^3-2lambda^2-lambda-2=0
Este cubo não fatoriza em racionais; chamaremos suas raízes de lambda1in R (única real) e lambda2,3=alphapm ibeta (par complexo).

Passo 5

Uma matriz fundamental pode ser escrita como
Phi(t)=exp(A,t),

Passo 6

ou explicitamente, escolhendo vetores próprios v1,v2,v3,
Phi(t)=l[v1e^lambda1t,,Re(v2e^lambda2t),,Im(v2e^lambda2t)r]

Passo 7

Assim a solução geral do sistema é
$$z(t)=\Phi(t) z(t)=Phi(t)C1 C2 C3 = C1v1e^lambda1t + C2Rel(v2e^lambda2tr) + C3Iml(v2e^lambda2tr)
= C_1v_1e^{\lambda_1t} + C_2\Re\bigl(v_2e^{\lambda_2t}\bigr) + C_3\Im\bigl(v_2e^{\lambda_2t}\bigr).$$

Passo 8

Finalmente, como x(t) é a primeira componente de z(t) e y(t) é a terceira, a solução geral da equação original fica
x(t)=C1e^lambda1t+C2e^alpha tcos(beta t)+C3e^alpha tsin(beta t),
y(t)=-x''(t)-x(t), onde lambda1,alphapm ibeta são as raízes de lambda^3-2lambda^2-lambda-2=0.

Resposta

Matriz na forma de primeira ordem:
dot z=A,z, z=x dot x y,; A=0&1&0 -1&0&-1 0&-2&2
Matriz fundamental:
Phi(t)=exp(A,t)=l[v1e^lambda1t,,Re(v2e^lambda2t),,Im(v2e^lambda2t)r],
com lambda1,lambda2,3=alphapm ibeta raízes de lambda^3-2lambda^2-lambda-2=0 e vi vetores próprios.
Solução geral do sistema:
z(t)=C1v1e^lambda1t+C2Re(v2e^lambda2t)+C3Im(v2e^lambda2t)
Solução geral da equação original:
x(t)=C1e^lambda1t+C2e^alpha tcos(beta t)+C3e^alpha tsin(beta t),
y(t)=-x''(t)-x(t),
onde os constantes C1,C2,C3 são de integração.

Exercícios relacionados