O problema pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais. O conteúdo envolvido é a resolução de EDO homogênea pelo método da equação característica e aplicação de condições iniciais.
Passo 2
Escrevendo a equação característica substituindo y=e^rt:
2r^2 - 3r + 1 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau: De, então
r = 3 pm 14 implies r1 = 1, r2 = tfrac12
Passo 3
A solução geral da EDO homogênea é combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
y(t) = C1 e^t + C2 e^t/2
Passo 4
Calculando a derivada e aplicando as condições iniciais:
y'(t) = C1 e^t + tfrac12 C2 e^t/2
Em t=0:
y(0)=C1 + C2 = 2, y'(0)=C1 + tfrac12 C2 = tfrac12
Subtraindo a segunda da primeira: C2 - tfrac12 C2 = 2 - tfrac12 dá C2 = 3 e então C1 = 2 - 3 = -1.
Passo 5
Portanto, a solução que satisfaz o valor inicial é