Encontre a solução do problema de valor inicial:
l 2 y^prime prime-3 y^prime+y=0 y(0)=2 y^prime(0)=12
Escolha uma opção:
y=12 e^t3-8 e^t2

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais. O conteúdo envolvido é a resolução de EDO homogênea pelo método da equação característica e aplicação de condições iniciais.

Passo 2

Escrevendo a equação característica substituindo y=e^rt:
2r^2 - 3r + 1 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau: De, então
r = 3 pm 14 implies r1 = 1, r2 = tfrac12

Passo 3

A solução geral da EDO homogênea é combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
y(t) = C1 e^t + C2 e^t/2

Passo 4

Calculando a derivada e aplicando as condições iniciais:
y'(t) = C1 e^t + tfrac12 C2 e^t/2
Em t=0:
y(0)=C1 + C2 = 2, y'(0)=C1 + tfrac12 C2 = tfrac12
Subtraindo a segunda da primeira: C2 - tfrac12 C2 = 2 - tfrac12 C2 = 3 e então C1 = 2 - 3 = -1.

Passo 5

Portanto, a solução que satisfaz o valor inicial é
y(t) = -e^t + 3e^t/2

Resposta

y(t) = -e^t + 3e^t/2.

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