O problema é um EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: 2y'' - 3y' + y = 0, sujeito às condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=tfrac12. Vamos usar a equação característica para resolver.
Passo 2
A equação característica associada é
2r^2 - 3r + 1 = 0
Resolvendo-a, calculamos o discriminante: De. Assim as raízes são r = 3 pm 14 implies r1 = 1, r2 = tfrac12
Passo 3
Logo, a solução geral da EDO é
y(t) = A e^t + B e^t/2,
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar A e B. Primeiro,
y(0) = A + B = 2
Em seguida, derivamos: y'(t) = A e^t + tfrac12 B e^t/2, então
y'(0) = A + tfrac12 B = tfrac12
Passo 5
Resolvendo o sistema
A + B = 2, A + tfrac12 B = tfrac12,
subtraindo a segunda equação da primeira obtemos B - tfrac12 B = tfrac32 implies tfrac12 B = tfrac32 implies B = 3 Daí A = 2 - B = 2 - 3 = -1.
Passo 6
Portanto a solução que satisfaz o problema de valor inicial é