Encontre a solução do problema de valor inicial:
l 2 y^prime prime-3 y^prime+y=0 y(0)=2 y^prime(0)=12
Escolha uma opção:
y=e^-t+2 e^t3

Passo 1

O problema é um EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: 2y'' - 3y' + y = 0, sujeito às condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=tfrac12. Vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

A equação característica associada é
2r^2 - 3r + 1 = 0
Resolvendo-a, calculamos o discriminante: De. Assim as raízes são
r = 3 pm 14 implies r1 = 1, r2 = tfrac12

Passo 3

Logo, a solução geral da EDO é
y(t) = A e^t + B e^t/2,

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar A e B. Primeiro,
y(0) = A + B = 2
Em seguida, derivamos:
y'(t) = A e^t + tfrac12 B e^t/2, então
y'(0) = A + tfrac12 B = tfrac12

Passo 5

Resolvendo o sistema
A + B = 2, A + tfrac12 B = tfrac12,
subtraindo a segunda equação da primeira obtemos
B - tfrac12 B = tfrac32 implies tfrac12 B = tfrac32 implies B = 3 Daí A = 2 - B = 2 - 3 = -1.

Passo 6

Portanto a solução que satisfaz o problema de valor inicial é
y(t) = -e^t + 3e^t/2

Resposta

y(t) = -e^{t} + 3e^{t/2}

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