Encontre a solução do problema de valor inicial:
l 2 y^prime prime-3 y^prime+y=0 y(0)=2 y^prime(0)=12
Escolha uma opção:
y=e^t4-e^-t

Passo 1

O problema pede para resolver o valor inicial da EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2y''-3y'+y=0, y(0)=2, y'(0)=tfrac12
e encontrar a solução explícita y(t). Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo y\propto e^{rt}:
2r^2-3r+1=0

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática pelo discriminante:
r=3pmraiz9-82cdot2=3pm14
Logo as raízes são
r1=1, r2=tfrac12

Passo 4

A solução geral da EDO é combinação linear das exponenciais:
y(t)=C1e^r1t+C2e^r2t=C1e^t+C2e^t/2

Passo 5

Calculamos y’(t) para aplicar as condições iniciais:
y'(t)=C1e^t+tfrac12C2e^t/2
Em t=0 temos o sistema:
C1+C2=2, C1+tfrac12C2=tfrac12

Passo 6

Subtraindo a segunda equação da primeira:
(C1+C2)-(C1+tfrac12C2)=2-tfrac12impliestfrac12C2=tfrac32implies C2=3
E então C_1=2-3=-1.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos
y(t)=-e^t+3e^t/2

Resposta

y(t)= -e^t + 3e^{t/2}

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