1. Encontre a solução do problema de valores de fronteira e inicial seguinte
\begin{aligned} u_{t} & =7 u_{x x}, 0<x<\pi \mathrm{e} t>0 \\\ u_{x}(0, t) & =0=u_{x}(\pi, t), t \geq 0 \\\ u(x, 0) & =1-\operatorname{sen}(x), 0 \leq x \leq \pi \end{aligned}

Passo 1

O problema é a equação do calor unidimensional
u_{t} = 7\,u_{xx},\quad 0<x<\pi,\;t>0,
com condições de contorno de Neumann
u_{x}(0,t)=0,\quad u_{x}(\pi,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=1-\operatorname{sen}(x),\quad 0\le x\le\pi.
O método é separar variáveis e usar expansão em autofunções do operador u_{xx} com Neumann, que são os cossenos.

Passo 2

Consideramos a forma geral da solução pela expansão em série de cossenos:
u(x,t)=A_{0} + \sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\,e^{-7n^{2}t}\cos(nx).
Aqui A_{0} é o coeficiente constante e A_{n} são as coeficientes da série de Fourier-cosseno da condição inicial f(x)=1-\operatorname{sen}(x).

Passo 3

O coeficiente constante vem de
A_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\operatorname{sen}(x)\bigr)\,dx.
Calculando
\int_{0}^{\pi}1\,dx=\pi,\qquad \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx=[-\cos(x)]_{0}^{\pi}=-\cos(\pi)+\cos(0)=2,
logo
A_{0}=\frac{\pi-2}{\pi}=1-\frac{2}{\pi}.

Passo 4

Para n\ge1, o coeficiente de cosseno é
A_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\Bigl[\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx -\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\cos(nx)\,dx\Bigr].
Note que \displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=0 para todo n\ge1, pois \sin(n\pi)=0. Então
A_{n}=-\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\cos(nx)\,dx.

Passo 5

Calculamos
I_{n}=\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\cos(nx)\,dx.
Use a identidade
\operatorname{sen}(x)\cos(nx)=\tfrac12\bigl[\operatorname{sen}((n+1)x)+\operatorname{sen}((1-n)x)\bigr]
e as integrais
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(kx)\,dx =\frac{1-\cos(k\pi)}{k}.
Após simplificar (veja que aparece o fator 1-(-1)^{\,n+1}), encontra-se
I_{n}=-\frac{1-(-1)^{\,n+1}}{n^{2}-1}.
Portanto
A_{n}=\frac{2}{\pi}\,\frac{1-(-1)^{\,n+1}}{n^{2}-1}.

Passo 6

Observe que 1-(-1)^{\,n+1}=0 para n ímpar e 2 para n par. Logo só os termos pares sobrevivem e, para n=2m,
A_{2m}=\frac{2}{\pi}\,\frac{2}{(2m)^{2}-1} =\frac{4}{\pi\bigl(4m^{2}-1\bigr)},
enquanto A_{n}=0 se n for ímpar.

Passo 7

Substituindo tudo na expansão, a solução final é
u(x,t) =1-\frac{2}{\pi} +\sum_{m=1}^{\infty} \frac{4}{\pi(4m^{2}-1)}\, e^{-7(2m)^{2}t}\cos(2m\,x).

Resposta

\boxed{ u(x,t) =1-\frac{2}{\pi} +\sum_{m=1}^{\infty} \frac{4}{\pi(4m^{2}-1)}\, e^{-28m^{2}t}\cos(2m\,x) }.

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