- Encontre a solução do problema de valores de fronteira e inicial seguinte
Passo 1
O problema é a equação do calor unidimensional
com condições de contorno de Neumann
e condição inicial
O método é separar variáveis e usar expansão em autofunções do operador
com Neumann, que são os cossenos.
Passo 2
Consideramos a forma geral da solução pela expansão em série de cossenos:
Aqui
é o coeficiente constante e
são as coeficientes da série de Fourier-cosseno da condição inicial
.
Passo 3
O coeficiente constante vem de
Calculando
logo
Passo 4
Para
, o coeficiente de cosseno é
Note que
para todo
, pois
. Então
Passo 5
Calculamos
Use a identidade
e as integrais
Após simplificar (veja que aparece o fator
), encontra-se
Portanto
Passo 6
Observe que
para
ímpar e
para
par. Logo só os termos pares sobrevivem e, para
,
enquanto
se
for ímpar.
Passo 7
Substituindo tudo na expansão, a solução final é