Resolva os seguintes problemas de contorno pelo método da separação de variáveis de Fourier (Solução em Série de Fourier)
\begin{aligned}u_{t t} & =16 u_{x x}, \quad(x, t) \in(0,2) \times(0, \infty), \u(0, t) & =0=u(2, t), \quad t \geq 0, \u(x, 0) & =6 \operatorname{sen}(\pi x)-3 \operatorname{sen}(4 \pi x), \quad x \in[0,2], \u_{t}(x, 0) & =0, \quad x \in[0,2] .\end{aligned}

Passo 1

O problema é a equação da onda
u_{tt} = 16\,u_{xx},\quad 0<x<2,\;t>0,
com condições de contorno de Dirichlet
u(0,t)=0=u(2,t)
e condições iniciais
u(x,0)=6\sin(\pi x)-3\sin(4\pi x),\quad u_t(x,0)=0.
O método é separação de variáveis e expansão em série de Fourier no intervalo [0,2], usando funções próprias \sin(n\pi x/2).

Passo 2

Procuramos solução da forma
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\bigr)\,\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr),
onde a velocidade de fase é
\omega_n = c\frac{n\pi}{2},\quad c=\sqrt{16}=4\;\Longrightarrow\;\omega_n=2n\pi.

Passo 3

As condições iniciais dão
u(x,0)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr) =6\sin(\pi x)-3\sin(4\pi x).
Como \sin(\pi x)=\sin(2\pi x/2) e \sin(4\pi x)=\sin(8\pi x/2), seguem
A_2=6,\quad A_8=-3,\quad A_n=0\\ (n\neq2,8).
E de
u_t(x,0)=\sum_{n=1}^\infty \omega_n B_n\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)=0
vem B_n=0 para todo n.

Resposta

u(x,t)=6\cos(4\pi t)\,\sin(\pi x)\;-\;3\cos(16\pi t)\,\sin(4\pi x).

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