Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial e determine o intervalo na qual esta solução está definida.
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial e pede duas coisas: encontrar a solução explícita
e determinar o intervalo em que essa solução está definida. As informações dadas são:
- A equação diferencial:
. - A condição inicial:
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão do lado direito para ver a estrutura da equação. No denominador há um fator comum
, então:
Logo a equação pode ser escrita como
Explicando:
significa
. A vantagem dessa forma é que a equação é separável, ou seja, podemos escrever todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro.
Passo 3
Separe as variáveis: multiplique ambos os lados por
e por
:
Aqui a ideia é que o lado esquerdo depende apenas de
(através de
) e o direito apenas de
(através de
). Agora integramos ambos os lados.
Passo 4
Integração dos dois lados:
Calcule cada integral separadamente.
- No lado esquerdo:
porque a primitiva de
em relação a
é
.
- No lado direito use a substituição
. Então e
já que
para todo
, podemos retirar o valor absoluto.
Passo 5
Juntando as primitivas e absorvendo constantes em uma única constante
:
Multiplicando por
:
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 6
Determine a constante usando a condição inicial
. Substituindo
e
em
obtemos:
portanto
. Assim a relação entre
e
é
Passo 7
Resolve-se para
:
Para escolher o sinal correto usamos a condição inicial
. Em
a raiz vale
, e como
devemos escolher o sinal negativo. Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 8
Determinar o intervalo de definição. A expressão dentro da raiz é
Notar que
para todo
, logo
e portanto
para todo
. Assim o radicando é sempre positivo e a função
está bem definida para todo
.
Além disso, no lado direito da equação original o denominador é
. Como
e acabamos de ver que
nunca é zero (porque
), o denominador também nunca se anula, então não há outra restrição de domínio. Conclusão: a solução está definida para todos os reais.
Resposta
Intervalo de definição: