Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial e determine o intervalo na qual esta solução está definida.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{2 x}{y+x^{2} y} \\\ y(0)=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial e pede duas coisas: encontrar a solução explícita y(x) e determinar o intervalo em que essa solução está definida. As informações dadas são:
  • A equação diferencial: \displaystyle y'=\frac{2x}{y+x^{2}y}.
  • A condição inicial: \displaystyle y(0)=-2.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão do lado direito para ver a estrutura da equação. No denominador há um fator comum y, então:
\frac{2x}{y+x^{2}y}=\frac{2x}{y(1+x^{2})}.
Logo a equação pode ser escrita como
y'=\frac{2x}{y(1+x^{2})}.
Explicando: y' significa \dfrac{dy}{dx}. A vantagem dessa forma é que a equação é separável, ou seja, podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro.

Passo 3

Separe as variáveis: multiplique ambos os lados por y e por dx:
y\,dy=\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Aqui a ideia é que o lado esquerdo depende apenas de y (através de y\,dy) e o direito apenas de x (através de \dfrac{2x}{1+x^{2}}\,dx). Agora integramos ambos os lados.

Passo 4

Integração dos dois lados:
\int y\,dy=\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Calcule cada integral separadamente.
  • No lado esquerdo:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}+C_{1},
porque a primitiva de y em relação a y é \tfrac{y^{2}}{2}.
  • No lado direito use a substituição u=1+x^{2}. Então du=2x\,dx e
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx=\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C_{2}=\ln(1+x^{2})+C_{2},
já que 1+x^{2}>0 para todo x, podemos retirar o valor absoluto.

Passo 5

Juntando as primitivas e absorvendo constantes em uma única constante C:
\frac{y^{2}}{2}=\ln(1+x^{2})+C.
Multiplicando por 2:
y^{2}=2\ln(1+x^{2})+C',
onde C'=2C é uma constante arbitrária.

Passo 6

Determine a constante usando a condição inicial \displaystyle y(0)=-2. Substituindo x=0 e y(0)=-2 em y^{2}=2\ln(1+x^{2})+C' obtemos:
(-2)^{2}=2\ln(1+0^{2})+C' \quad\Rightarrow\quad 4=2\ln(1)+C'=0+C',
portanto C'=4. Assim a relação entre y e x é
y^{2}=2\ln(1+x^{2})+4.

Passo 7

Resolve-se para y:
y=\pm\sqrt{\,2\ln(1+x^{2})+4\,}.
Para escolher o sinal correto usamos a condição inicial y(0)=-2. Em x=0 a raiz vale \sqrt{4}=2, e como y(0)=-2 devemos escolher o sinal negativo. Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=-\sqrt{\,2\ln(1+x^{2})+4\,}.

Passo 8

Determinar o intervalo de definição. A expressão dentro da raiz é
2\ln(1+x^{2})+4.
Notar que 1+x^{2}\ge 1 para todo x, logo \ln(1+x^{2})\ge 0 e portanto 2\ln(1+x^{2})+4\ge 4>0 para todo x\in\mathbb{R}. Assim o radicando é sempre positivo e a função y(x) está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.
Além disso, no lado direito da equação original o denominador é y(1+x^{2}). Como 1+x^{2}>0 e acabamos de ver que y(x) nunca é zero (porque y^{2}\ge 4), o denominador também nunca se anula, então não há outra restrição de domínio. Conclusão: a solução está definida para todos os reais.

Resposta

y(x)=-\sqrt{\,2\ln(1+x^{2})+4\,}
Intervalo de definição: (-\infty,\infty)

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