Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial e determine o intervalo na qual esta solução está definida.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=x y^{3}\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
\begin{cases} y' = x\,y^{3}\,(1+x^{2})^{-\tfrac{1}{2}},\\[4pt] y(0)=1. \end{cases}
As perguntas que precisamos responder são:
  • Encontrar explicitamente a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
  • Determinar o intervalo de x onde essa solução está definida.
As informações relevantes dadas são: a expressão da derivada y' em termos de x e y e o valor de y em x=0, que é y(0)=1.]

Passo 2

Observação sobre a técnica que será usada (separação de variáveis) e por que ela se aplica aqui.
Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx}, a equação é
\frac{dy}{dx} = x\,y^{3}\,(1+x^{2})^{-\tfrac{1}{2}}.
Uma equação da forma \dfrac{dy}{dx}=f(x)\,g(y) é chamada separável porque podemos “separar” os termos que dependem de y dos que dependem de x, obtendo
\frac{1}{g(y)}\,dy = f(x)\,dx,
e então integrar ambos os lados. Aqui o lado direito depende só de x e o esquerdo só de y, então podemos aplicar essa técnica. (Explicando a notação: dy e dx são diferenciais; ao separar estamos organizando os fatores para integrar em y num lado e em x no outro.)

Passo 3

Separe as variáveis explicitamente.
A equação dada pode ser rearranjada como
y^{-3}\,dy = x\,(1+x^{2})^{-\tfrac{1}{2}}\,dx.
Isto é, \dfrac{dy}{y^{3}} = x(1+x^{2})^{-1/2}\,dx. Agora integramos os dois lados.

Passo 4

Integração do lado em y.
Usa-se a regra da potência para integrais: \displaystyle\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}+C quando n\neq-1.
Aqui n=-3, então
\int y^{-3}\,dy = \frac{y^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2}y^{-2}+C.
Portanto a integral do lado esquerdo é -\dfrac{1}{2}y^{-2} mais constante.

Passo 5

Integração do lado em x.
Calcular \displaystyle\int x(1+x^{2})^{-\tfrac{1}{2}}\,dx. Faço a substituição u=1+x^{2}, assim du=2x\,dx e x\,dx=\dfrac{1}{2}du. Então
\int x(1+x^{2})^{-\tfrac{1}{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{-\tfrac{1}{2}}\,du = \frac{1}{2}\cdot 2\,u^{\tfrac{1}{2}} + C = \sqrt{u}+C = \sqrt{1+x^{2}}+C.

Passo 6

Combine as duas integrais e determine a constante usando a condição inicial.
Igualando as primitivas obtemos (absorvendo constantes)
-\frac{1}{2}y^{-2} = \sqrt{1+x^{2}} + C.
Usando x=0 e y(0)=1 para achar C:
-\frac{1}{2}\cdot 1^{-2} = \sqrt{1+0^{2}} + C \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{2} = 1 + C \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{3}{2}.
Assim a relação implícita fica
-\frac{1}{2}y^{-2} = \sqrt{1+x^{2}} - \frac{3}{2}.

Passo 7

Isolar y em função de x.
Multiplicando por -2 obtemos
y^{-2} = 3 - 2\sqrt{1+x^{2}}.
Invertendo,
y^{2} = \frac{1}{\,3 - 2\sqrt{1+x^{2}}\,}.
Tomando raiz quadrada, há duas possibilidades de sinal:
y(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3 - 2\sqrt{1+x^{2}}}}.
Como a condição inicial exige y(0)=1>0, escolhemos o sinal positivo. Portanto a solução explícita é
y(x) = \frac{1}{\sqrt{\,3 - 2\sqrt{1+x^{2}}\,}}.

Passo 8

Determinar o intervalo de definição (domínio real onde a solução é real e finita).
Para que y(x) seja real e finita é preciso que o denominador dentro da raiz seja estritamente positivo:
3 - 2\sqrt{1+x^{2}} > 0.
Isto equivale a
\sqrt{1+x^{2}} < \frac{3}{2}.
Elevando ao quadrado (mantendo a equivalência porque ambos os lados são não negativos):
1 + x^{2} < \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4},
logo
x^{2} < \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}.
Portanto
|x| < \frac{\sqrt{5}}{2}.
Isto mostra que a solução real obtida está definida no intervalo aberto
\left(-\frac{\sqrt{5}}{2},\,\frac{\sqrt{5}}{2}\right).
Nos extremos x=\pm \dfrac{\sqrt{5}}{2} o denominador se anula e y explode (não é finita), e para |x|>\dfrac{\sqrt{5}}{2} a expressão dentro da raiz torna-se negativa (solução real inexistente). Assim o intervalo máximo de definição que contém x=0 é o intervalo dado acima.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\,3-2\sqrt{1+x^{2}}\,}}\n \displaystyle x\in\left(-\frac{\sqrt{5}}{2},\,\frac{\sqrt{5}}{2}\right)

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