Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial e determine o intervalo na qual esta solução está definida.
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial
As perguntas que precisamos responder são:
- Encontrar explicitamente a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. - Determinar o intervalo de
onde essa solução está definida.
As informações relevantes dadas são: a expressão da derivada
em termos de
e
e o valor de
em
, que é
.]
Passo 2
Observação sobre a técnica que será usada (separação de variáveis) e por que ela se aplica aqui.
Escrevendo
, a equação é
Uma equação da forma
é chamada separável porque podemos “separar” os termos que dependem de
dos que dependem de
, obtendo
e então integrar ambos os lados. Aqui o lado direito depende só de
e o esquerdo só de
, então podemos aplicar essa técnica. (Explicando a notação:
e
são diferenciais; ao separar estamos organizando os fatores para integrar em
num lado e em
no outro.)
Passo 3
Separe as variáveis explicitamente.
A equação dada pode ser rearranjada como
Isto é,
. Agora integramos os dois lados.
Passo 4
Integração do lado em
.
Usa-se a regra da potência para integrais:
quando
.
Aqui , então
Aqui
Portanto a integral do lado esquerdo é
mais constante.
Passo 5
Integração do lado em
.
Calcular
. Faço a substituição
, assim
e
. Então
Passo 6
Combine as duas integrais e determine a constante usando a condição inicial.
Igualando as primitivas obtemos (absorvendo constantes)
Usando
e
para achar
:
Assim a relação implícita fica
Passo 7
Isolar
em função de
.
Multiplicando por
obtemos
Invertendo,
Tomando raiz quadrada, há duas possibilidades de sinal:
Como a condição inicial exige
, escolhemos o sinal positivo. Portanto a solução explícita é
Passo 8
Determinar o intervalo de definição (domínio real onde a solução é real e finita).
Para que
seja real e finita é preciso que o denominador dentro da raiz seja estritamente positivo:
Isto equivale a
Elevando ao quadrado (mantendo a equivalência porque ambos os lados são não negativos):
logo
Portanto
Isto mostra que a solução real obtida está definida no intervalo aberto
Nos extremos
o denominador se anula e
explode (não é finita), e para
a expressão dentro da raiz torna-se negativa (solução real inexistente). Assim o intervalo máximo de definição que contém
é o intervalo dado acima.