Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
\left(y e^{x}-2 x\right) d x+e^{x} d y=0 se x=0 e y=6

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(y\,e^{x}-2x\bigr)\,dx + e^{x}\,dy = 0
com a condição inicial x=0, y=6.
Este é um problema de equação diferencial exata, pois queremos verificar se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = y\,e^{x}-2x \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = e^{x}.

Passo 2

Verificamos a exatidão comparando as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{x}-2x\bigr) = e^{x}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\bigr) = e^{x}.
Como ambas são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Encontramos \varphi(x,y) integrando \frac{\partial \varphi}{\partial x}=y\,e^{x}-2x em relação a x:
\varphi(x,y) = \int \bigl(y\,e^{x}-2x\bigr)\,dx = y\,e^{x} - x^{2} + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Agora impomos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = e^{x} + h'(y) \stackrel{!}{=} e^{x}.
Logo h'(y)=0 e h(y) é constante. Então
\varphi(x,y) = y\,e^{x} - x^{2}.

Passo 4

A solução geral está dada por
\varphi(x,y) = C \quad\Longrightarrow\quad y\,e^{x} - x^{2} = C.
Usando a condição inicial x=0, y=6:
6\,e^{0} - 0^{2} = C \quad\Longrightarrow\quad C = 6.

Resposta

A solução que satisfaz y(0)=6 é
y\,e^{x} - x^{2} = 6 \quad\Longleftrightarrow\quad y = (6 + x^{2})\,e^{-x}.

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